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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES ! » 24-01-2024 15:53:07
L'écriture correcte est donc $x > 4 \Rightarrow \color{red}{0} < \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$.
Bonjour,
Je suis d'accord que l'inégalité 1/x < 1/4 n'est pas la plus précise au sens d'un ensemble de valeurs prises par 1/x mais elle n'est pas fausse à mon sens.
En effet la condition 0 < 1/x < 1/4 est incluse dans 1/x < 1/4.
Je ne vois donc pas pourquoi en terme de logique l'implication x > 4 => 1/x < 1/4 serait fausse.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Cyclicité de (K*, x) » 25-12-2023 14:26:16
Oui tu as raison, il faudrait que je détaille mieux cette partie.
Merci pour tes réponses.
#3 Re : Entraide (supérieur) » Cyclicité de (K*, x) » 25-12-2023 01:53:36
Bonjour Fred,
Je suis partie du fait que si alpha(d) = 0 alors G n'admet aucun élément d'ordre d et ainsi Ed est réduit à l'ensemble vide.
Donc alpha(d) ≤ phi(d).
Merci de ta réponse.
#4 Entraide (supérieur) » Cyclicité de (K*, x) » 24-12-2023 15:41:04
- Damien.Gomes
- Réponses : 4
Bonjour à tous,
J'aimerai avoir votre avis sur ma rédaction de preuve de la cyclicité de (K* , x).
Etape 1 : o(Ed) ≤ d => G cyclique
Soit G un groupe d'ordre fini n. Pour tout diviseur d de n, on pose Ed = {x de G tq x^d = 1}. On note alpha(d) le nombre d'élément de G d'ordre d et phi(d) l'indicatrice d'Euler évaluée en d.
Supposons que, pour tout diviseur d de n, o(Ed) ≤ d. Montrons que alpha(d)= phi(d).
Si alpha(d)=0 alors le cas est trivial.
Sinon il existe un élémnet a de G d'ordre d. Ainsi <a> est inclu dans Ed.
Mais alors o(<a>) = d ≤ o(Ed) d'où o(Ed)= d et Ed = <a>.
Or <a> contient phi(d) générateurs d'où alpha(d) ≤ phi(d).
De plus, par la formule de Möbius (dsl je ne suis pas bon en latex pour la taper), on obtient que alpha(d) = phi(d).
En considérant le cas d = n, G admet un élément d'ordre n. D'où G est cyclique.
Etape 2 : (K*, x)
Soit (K, +, x) un corps fini. D'une part, (K*, x) est bien un groupe fini. Notons n son ordre.
D'autre part, soit d un diviseur de n. Puisque K est un corps, le polynôme X^d - 1 admet au plus d racines sur K.
Donc o(Ed) ≤ d et ainsi (K*, x) est cyclique.
Désolé je ne suis pas assez bon en latex pour tout taper proprement... mais merci d'avance
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