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Bonjour,

Soit f : [0,1] → R une fonction dérivable qui n’est pas la fonction nulle. On suppose qu’il existe M > 0 tel que |f′(x)| ⩽ M|f(x)| pour tout x ∈ [0,1].
1) Soit g : [0,1] → R la fonction définie par g(x) = f(x)²e^-2Mx. Montrer que g est décroissante.
2) Montrer que f ne s'annule pas

Pour la question 2 j'ai supposé par l'absurde que f s'annule puis j'ai noté a le plus petit réel vérifiant f(a) = 0. Il est clair donc que pour tout x ∈ [a,1], f(x) = 0 (décroissance de g). on sait de plus que f ne change pas de signe (TVI), on peut donc supposer sans perte de généralité que f est positive. L'inégalité devient donc |f'(x)| ⩽ Mf(x). J'ai ensuite essayé d'utiliser le théorème des accroissements finis mais je n'ai rien trouvé. Merci de m'aider.