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Je n'ai pas bien compris, je trouve [tex]S_{2n}= \dfrac{1}{2} (h_{n-1}-h_n )[/tex] mais l'exercice demande d'en déduire sauf que je ne comprends pas le rapport avec la question 2.

Ah d'accord merci.
On a [tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{\frac{x+1}{x}}=1[/tex]

Je ne vois pas comment démontrer que [tex]n \in A \cup B[/tex].

Merci c'est une coquille que j'ai rectifiée. J'ai un peu de mal avec la question 4.
On a [tex]A \cup B= \{ \lfloor n( 1+ \dfrac{1}{x} ) \rfloor \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \} \cup \{ \lfloor n( 1+ x ) \rfloor \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \} [/tex]

Je ne vois pas du tout comment déterminer [tex]A \cup B[/tex].

Bonjour. Je coince sur Q3.

1) [tex]\boxed{M \cap \mathbf{N}^{*}= \emptyset}[/tex] car [tex]x[/tex] est irrationnel.
2) On a [tex]k= \max \{ i \in \mathbf{N}^{*} \ | \ 1 \leq ix \leq n \} [/tex]
Comme [tex]M[/tex] et [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex] sont disjoints, on a :  [tex]a_n=\lfloor \dfrac{n}{x} \rfloor +n[/tex].
Finalement [tex]\boxed{a_n=\lfloor ny \rfloor \ \ , \ y=\dfrac{1}{x}+1}[/tex]
3) Je ne vois pas comment procéder.

Je ne comprends pas vraiment ce passage. Dans le théorème de Beatty, on a [tex]E_a= \{ E(na) \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \}[/tex] et [tex]E_b= \{ E(nb) \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \}[/tex]
Je n'ai pas compris comment on peut se ramener à ce théorème dans le cas où [tex]E_a '= 1+ E_a[/tex] et [tex]E_b ' = 1+ E_b[/tex] .

Cidrollin merci pour ce bel exercice.

Bridgslam, je ne trouve pas la même chose que toi mais je ne comprends pas pourquoi.
Voici mon raisonnement :
J'écris : [tex]10^n=\overline{a_{u_n -1} \cdots a_1 a_0}^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{u_n -1} a_k \times 2^k[/tex] où [tex]a_{u_n -1} \ne 0[/tex]
On sait que : [tex]2^{u_n -1} \leq 10^n < 2^{u_n}[/tex]
On obtient : [tex]u_n \leq n \dfrac{\ln (10)}{ \ln(2)} +1 < u_n +1[/tex]
Finalement : [tex]\boxed{u_n = \lfloor n \dfrac{\ln (10) }{ \ln(2) } \rfloor +1}[/tex]

De même : [tex]\boxed{v_n = \lfloor n \dfrac{\ln (10) }{ \ln(5) } \rfloor +1}[/tex]

Il faut aussi montrer que [tex]a=\dfrac{\ln(10)}{\ln(5)}[/tex] est irrationnel. Ce que j'ai fait au brouillon et qui n'est pas très difficile en raisonnant par l'absurde.

Je ne comprends pas ce passage.

Je ne comprends pas comment on passe de [tex]n=k+l[/tex] (ici on raisonne sur des cardinaux) à [tex]n \in E_a \cup E_b[/tex].

Superbe merci. Je n'avais pas pensé à écrire ces inégalités ici pourtant je les connais.

On a donc [tex]k+l=n[/tex] .

Il reste à montrer que [tex]E_a \cup E_b =\mathbf{N}^{*}[/tex]
Première inclusion :
Soit [tex]x \in E_a  \cup E_b[/tex]. Si [tex]x \in E_a[/tex] alors il existe [tex]i \in \mathbf{N}^{*}[/tex] tel que [tex]x=E(ia) \in \mathbf{N}^{*}[/tex]. Par symétrie, le cas [tex]x \in E_b[/tex] s'obtient de la même façon.

Seconde inclusion :
Soit [tex]n \in \mathbf{N}^{*}[/tex].
On a vu que [tex]n=k+l[/tex].
Je comprends l'exemple pour [tex]n=1[/tex].
Mais le cas [tex]n=2[/tex] me pose des difficultés.
On a [tex]k=E(\dfrac{3}{a} )[/tex] et  [tex]l=E(\dfrac{3}{b} )[/tex]
A partir d'ici je bloque. Je n'arrive pas à voir l'idée du raisonnement.

Merci. J'ai un petit souci à la question 2 je trouve [tex]n-1[/tex] au lieu de [tex]n[/tex].

On remarque que [tex]a>1[/tex] et [tex]b>1[/tex].

1) On a [tex]k= \max \{ r \in \mathbf{N}^{*} \ | \ 1 \leq E(ra) \leq n \}[/tex] et [tex]l= \max \{ s \in \mathbf{N}^{*} \ | \ 1 \leq E(sa) \leq n \}[/tex]
On remarque que [tex]k[/tex] est le nombre de multiples de [tex]a[/tex] compris entre [tex]1[/tex] et [tex]n[/tex], il y en a [tex]E(\dfrac{n}{a})[/tex].
Ainsi : [tex]\boxed{k=E(\dfrac{n}{a})}[/tex] et [tex]\boxed{l=E(\dfrac{n}{b})}[/tex]

2) On a [tex]\dfrac{n}{a} -1 < k <  \dfrac{n}{a}[/tex] l'inégalité stricte à droite provient de l'irrationnalité de [tex]a[/tex]. En effet, si [tex]\dfrac{n}{a}[/tex] est entier, alors il existe [tex]q \in \mathbf{Z}[/tex] tel que [tex]n=aq[/tex] ce qui est absurde.
De même : [tex]\dfrac{n}{b} -1 < l <  \dfrac{n}{b}[/tex]
En sommant : [tex]n-2 < k+l < n[/tex]
Mais [tex]k+l \in \mathbf{Z}[/tex] donc [tex]\boxed{k+l=n-1}[/tex] ...

3) J'ai des difficultés à voir le lien avec ce qui précède. Je ne vois pas commet démontrer que [tex] \mathbf{N}^{*} \subset E_a \cup E_b [/tex] , l'autre inclusion étant immédiate.
J'ai réussi uniquement à montrer [tex]E_a \cap E_b = \emptyset[/tex]
En effet, si [tex]x \in E_a \cap E_b[/tex], il existe [tex](r,s) \in (\mathbf{N}^{*})^2[/tex] tel que [tex]x=E(ra)=E(sb)[/tex]
On obtient : [tex]x<  ra < x+1[/tex] et [tex]x < sb < x+1[/tex]
Donc :  [tex]\dfrac{x}{a} <  r < \dfrac{x}{a}+1[/tex] et [tex]\dfrac{x}{b} < s < \dfrac{x}{b}+1[/tex]
Ce qui donne : [tex]x < r+s < x+1[/tex] ce qui est absurde car [tex]r+s \in \mathbf{N}^{*}[/tex]
On a montré : [tex]\boxed{E_a \cap E_b = \emptyset} [/tex]

D'accord merci. Votre aide m'a été précieuse pour comprendre cet exercice qui me faisait peur de prime abord.

• Supposons que [tex]a[/tex] soit rationnel et [tex]b[/tex] irrationnel =. Comme [tex]a= ab-b[/tex] et que [tex]ab[/tex] et [tex]b[/tex] sont irrationnels, cela conduit à [tex]a[/tex] irrationnel, ce qui est absurde.

• Supposons que [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] soient rationnels. On écrit [tex]a=\dfrac{u}{v}[/tex] et [tex]b=\dfrac{u'}{v'}[/tex]. On en déduit [tex]uu'=(u'v) a = (uv') b \in \mathbf{Z}[/tex]. Mais alors [tex]uu' \in E_a \cap E_b= \emptyset[/tex] ce qui est absurde.

Il ne reste qu'une seule possibilité : [tex]\boxed{a \ \text{et} \ b \ \text{sont irrationnels} }[/tex]

Ok merci. En effet, si on ne l'a jamais vu ce n'est pas évident.
Mais l'important c'est de réussir à finir la question avec votre indication.

Je vais prendre l'ensemble [tex]A[/tex] qui correspond à votre définition :
[tex]\forall x\in \mathbb{N}^*,\ x\in A \Leftrightarrow \left(\exists n\geq 0, 2^{2n}< x\leq 2^{2n+1}\right)[/tex]

On peut donc écrire que [tex]A= \displaystyle\bigcup_{n \geq 0} [|4^n+1,2 \times 4^n |][/tex].

Posons : [tex]\forall n \geq 0 \ A_n= [|4^n+1,2 \times 4^n |] [/tex]
On a [tex]| A_n |= 2 \times 4^n-(4^n+1)-1 = 4^n[/tex]
Posons [tex]\varphi(n)=2 \times 4^n[/tex] et [tex]\psi(n)=4^{n+1}[/tex]
Les applications [tex]\varphi, \psi[/tex] sont strictement croissantes et définies de [tex]\mathbf{N}[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbf{N}[/tex].

On a [tex]d_{ \varphi(n) } (A) \longrightarrow \dfrac{2}{3}[/tex]

Puis [tex]d_{\psi(n)} (A)= \dfrac{ \sum_{k=0}^n 4^k}{4^{n+1} } =\dfrac{1}{4} \displaystyle\sum_{j=0}^n (4^{-1})^j=\dfrac{1}{4} \dfrac{1-(\frac{1}{4})^{n+1}}{1-\frac{1}{4}} \longrightarrow \dfrac{1}{3}[/tex]

Comme les suites extraites [tex](d_{\varphi(n)} (A))[/tex] et [tex](d_{\psi(n)} (A))[/tex] convergent vers des limites distinctes, la suite [tex]d_n(A)[/tex] n'admet pas de limite.

Est-ce correct ?