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#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques » 31-01-2023 22:58:57
Bonsoir
En effet je n'avais pas beaucoup d'espoir avec un développement limité.
Je n'avais pas pensé au projeté, en effet !
Cela me fait penser à une autre question que je me suis posé en réfléchissant à mon TIPE : Si on considère [tex]E=C([a,b],[c,d])[/tex], est ce que je peux trouver la fonction de [tex]E[/tex] la "plus éloignée" de [tex]F[/tex] sous espace de [tex]E[/tex] ? Ou du moins la distance maximale ?
Par fonction la "plus éloignée" j'entends bien sûr celle qui a le plus grand projeté au sens de la norme citée plus haut.
Dans mon cas, [tex]E=f\in C([0,1],[0,1]) | f croissante, f(0)=0, f(1)=1[/tex] et [tex]F=E\cap R_5[X][/tex]
#2 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques » 31-01-2023 00:10:35
- ggenouville
- Réponses : 13
Bonsoir à tous
J'ai trouvé cette approximation en faisant mon TIPE.
Sur [tex]\left [ 0,1 \right ][/tex],
[tex]\frac{1-\cos(\pi x)}{2}\simeq -2x^{3}+3x^{2}[/tex]
Avec pour précision de presque 1% !
Je n'ai pas réussi à trouvé un développement limité qui expliquerait cela, quelqu'un serait-il plus éclairé que moi sur ce sujet ?
Ca ressemble à ces formules non démontrés qu'on trouvait au 19e et 20e siècle pour calculer plus facilement des objets trigonométriques.
En tout cas je n'ai pas réussi à trouver cette approximation dans un livre.
#3 Re : Entraide (supérieur) » Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable » 24-12-2022 01:48:02
Bonsoir
Merci Glozi !
Waw c'est vrai que c'est joli.
A moitié frustré de ne pas avoir y pensé, et en même temps émerveillé par ce résultat. Je crois qu'on est tous passé par cet état ahah.
Une propriété particulièrement satisfaisante qui découle du fait que B2=B, c'est que toute les valeurs propres sont soit 1, soit 0.
Je connaissais en effet la réduction de Dunford.
A=N+D avec N et D à coefficients complexes. Soit k, l'ordre de nilpotence de N. Soit n>k,
[tex]A^n=\sum_{q=0}^{k-1}N^qD^{n-q}=\left ( \sum_{q=0}^{k-1}N^q \right ){D}', D'=\lim_{n\rightarrow \infty}D^n[/tex]
Et... c'est tout ce que je sais en faire
Je sais que la famille des Nq est libre donc la somme ne s'annule pas, mais c'est tout.
#4 Re : Entraide (supérieur) » Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable » 23-12-2022 13:37:50
Bonjour Fred
En ce qui concerne les valeurs propres de A si elle est diagonalisable, elles sont toutes de module strictement plus petit que 1 ou égales à 1.
Je ne vois pas comment cela peut être utile pour des matrices réelles.
Si A n'est pas diagonalisable, alors en reprenant vos notations, je montre que [tex]\left | \lambda \right |< 1[/tex] et que [tex]A^nv=\lambda^nv+n\lambda^{n-1}u[/tex] (ce qui exclue le cas [tex]\lambda=1[/tex]), mais j'ai du mal à comprendre en quoi une famille libre de deux éléments suffisent à montrer que c'est diagonalisable dans C...
D'ailleurs j'ai oublié de dire qu'on m'a conseillé d'utiliser une suite extraite bien choisie, c'est pour ça que j'ai présenté ce que j'ai trouvé en suivant cet axe de recherche.
Merci tout de même !
#5 Entraide (supérieur) » Limite de la suite des itérés d'une matrice est diagonalisable » 23-12-2022 04:04:49
- ggenouville
- Réponses : 6
Bonsoir à tous
J'ai vu récemment un problème qui consiste à montrer que pour A une matrice réelle telle que [tex]A^n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty ]{}B[/tex], B est diagonalisable
Bon, s'il existe un entier k tel que Ak est diagonalisable, on peut conclure par unicité de la limite. Mais comment le prouver dans le cas général ? Est qu'il existe toujours un itéré diagonalisable ?
Autres idées que j'ai eu sans chercher plus à développer :
- trigonalisation dans C
- expression des itérés avec la méthode de la division euclidienne par le polynôme annulateur
Merci d'avance pour votre aide !
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