Forum de mathématiques - Bibm@th.net

D accord mais connais tu la définition récursive ?

Bonjour @bridgslam,

La solution que j'ai trouvée à ce problème est finalement est la suivante.  Le début est celui déjà établi qui évalue les différentes configurations à $d$ boules de même couleur, soit pour $k$ sous ensembles de boules de même couleurs:  $\binom{r}{k} $ combinaison de couleur. Pour dénombrer les  configurations  intuitivement, je me fonde sur le dénombrement des permutations avec répétitions . En considérant que $n= d k$ on aurait donc $\frac{n!}{d!^k}$ permutations des séquences de $d$ boules de même couleurs, chaque séquence étant d'une couleur différente par définition.

Ceci sera complété ensuite par le dénombrement des boules restantes quand $n \neq d k$. On considère qu'il reste $n- kd$ boules dont il faut dénombrer les variations en sachant qu'aucun sous ensemble de même couleur est de taille $d$.  Il reste  $r-k$ couleurs disponibles définies de $1$ à $r-k$ pour simplifier.  Une combinaison de boules restantes est définie par le profil (multiensemble) $(x_1,\cdots,x_{r-k})$ où $x_i$ est le nombre de boules de couleur  $i$. Cette combinaison vérifie $ P= \sum _{i=1}^{r-k} x_i=n-k d \land x_i \neq d$.

Toutes permutations d'une telle combinaison sont aussi à dénombrer.  Cette configuration répétant les couleurs, on a donc:  $\frac{n-k d!}{ x_1! x_2! \cdots x_{r-k}!}$ permutations possibles. On énumèrera donc toutes les différentes combinaisons vérifiant $P$ dont on sommera les permutations. Ceci donne finalement la formule suivante:

$  \sum _{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor }  \binom{r}{k}\frac{n!}{d!^k} \sum _{p \in \Lambda_k}
   \frac{1}{\prod _{j \in  p}  j!} $

avec
$\Lambda_k = \{(x_1,\cdots,x_{r-k}) | \sum _{i=1}^{r-k} x_i=n-k d \land x_i \neq d\}$

Si on veut définir $d$ comme un borne supérieure,  la condition sur  $x_i$ devient $x_i<d$ au lieu de $x_i \neq d$, soit

$\Lambda_k = \{(x_1,\cdots,x_{r-k}) | \sum _{i=1}^{r-k} x_i=n-k d \land x_i < d\}$.

J'ai vérifié empiriquement sa correction et j'atteste de sa véracité (au moins sur les 100 exemples testés :-) )

Le problème est que l'énumération exhaustive de toutes les  sommes vérifiant $\sum _{i=1}^{r-k} x_i=n-k d \land x_i \neq d$ est exponentielle et donc malheureusement la formule peut être calculée uniquement pour $n,r,d$ petit. A travailler encore de ce fait. Peut être existe-t-il une formulation alternative évitant cette limitation ?

Bonjour Yoshi,
étant novice dans les forums de mathématiques, j'ignorais que les questions scientifiques devaient rester captive d'une communauté, dont l'échange est par ailleurs est riche. Clairement, ce protocole s'oppose à ma conception de la science et de ces questions où la diffusion la plus large me semble être le bon procédé et éthique. Pourquoi conserver une question scientifique à quelques uns ? J'en prends cependant note pour mes questions futures sans en partager son esprit. 

Je souhaiterai par ailleurs revenir sur les intentions outrancières qui m'ont été prêtées dans votre message, en particulier celle de la recherche d'esclave et l'attitude consumériste. J'ignorais que demander de l'aide à plus compétent que soit relevait soit de l'esclavage, soit de la consommation. Ce n'est pas ma vision qu'elle soit dans les forums ou pour notre système éducatif. En effet, transposé à l'Education, cela signifie que tous les élèves sont des consommateurs car ils souhaitent apprendre de plus compétents qu'eux ? Je passe sur la transposition  de l'esclave par respect des enseignants.

Enfin pour votre métaphore sur la réaction du prof face à l'attitude de l'élève posant la même question à un autre prof aussi, je pense que cela dépend de l'état d'esprit du prof. Soit il comprend que la question de l'élève lui importe et le félicite de sa curiosité et de sa détermination à trouver  une réponse car le cas est vraisemblablement rare. Si il est un pédagogue accompli, il consulte l'autre prof pour la réponse. Soit il confond  savoir et pouvoir (sur les élèves) et le prend effectivement mal car il interprète cet acte comme un reniement de ce pouvoir et de son savoir.  Ma réponse est qu'il s'agit d'une question de point de vue et je préfère la première qui indique un prof pédagogue et confiant en son savoir.

En résumé, Je cherchais une réponse à cette question qui m'importe en  l'adressant  largement comme l'on adresse une question scientifique à l'ensemble d'une communauté, aucun esclave à chercher car il n'y a pas d'obligation de répondre ...

Ma conclusion de cet échange est qu'il apparait que les forums de math se concurrencent en réputation. Est-ce bon pour les mathématiques et la science ?

Je profite enfin de ce message  pour encore remercier sincèrement les personnes m'ayant répondu et qui m'ont fait avancer dans une question qui semble demeurer encore ouverte.

Cordialement
Franck

Bonjour  @bridgslam

Je regarde et j'essais de comprendre l'explication car je ne suis pas un expert de l'analyse combinatoire. Pour l'instant je n'ai pas sa généralisation malheureusement.

Franck

Bonjour @bridgslam

D1 correspond effectivement au nombre de cas ayant un sous ensemble unique de boules de même couleur de taille d, mais il ne me semble pas nul, par exemple pour n=6, d=2, r=3 on a
RRVVVB, RRVVVV, RRVBBB et toutes permutations de ces exemples correspondent au cas décrit pour R.

pour B et V on  n’a jamais un groupe de taille d dans ces profils. Il est soit plus grand, soit plus petit que d. La formule que j ai déduite de ton  précèdent message ne semble pas fonctionner pour cet exemple.

Dans ton énoncé  ci après

- On a n positions, r couleurs, d est le nombre de répétions ( maximum possible) de toute couleur.
a/ A chaque position est affectée une couleur
b/ deux configurations diffèrent lorsque pour une position au moins les couleurs sont différentes
c/ Pour  chaque configuration, au moins une couleur est répétée d fois exactement
d/ Aucune couleur n'est répétée plus de d fois
En tout cas ces règles étaient en accord avec votre schéma en couleur.
Bonne soirée

a/ b/ c/ oui mais d/ n est pas requis une couleur peut être répétée plus de d fois mais ce n est pas une solution car seule les cas où il y a au moins un sous ensemble de $d$ boules exactement de la même couleur est considéré comme une solution. d n’est pas un maximum car on a $r^n$ profils de boules possibles.

Merci encore de ton intérêt.

Merci je regarde attentivement