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Bonsoir,

Je considère [tex](X_n)_n[/tex] une suite de variables aléatoires réelles idépendantes et identiquement distribuées telles que [tex]E(X_n)=0[/tex] pour tout [tex]n[/tex] et [tex]E(X_1^2)<+\infty[/tex]. Pour tout [tex]n\ge 1[/tex], on pose [tex]S_n=\sum_{k=1}^n X_k[/tex].

J'ai montré que la suite de variables aléatoires [tex]\big(\frac{S_m^2}{m^2}\big)_n[/tex] converge presque sûrement vers [tex]0[/tex], en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Par contre, ensuite, on demande de montrer que pour tout [tex]m\ge 1[/tex], et tout [tex]1\le k\le 2m+1[/tex], on a [tex]P\big(|L_m^{(k)}|\ge m^2 \epsilon\big)\le \frac{(2m+1)E(X_1^2)}{m^4\epsilon^2}[/tex] avec [tex]L_m^{(k)}=X_{m^2+1}+...+X_{m^2+k}[/tex].

J'ai donc pensé à utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, encore, appliquée à la variable aléatoire [tex]L_m^{(k)}[/tex].
Dans cette inégalité, on aura à déterminer [tex]E(L_m^{(k)})[/tex], donc autant le faire tout de suite, ou en tout cas voir ce qu'il se passe.
Par linéarité de l'espérance, on a donc, pour tout [tex]m\ge 1[/tex], et tout [tex]1\le k\le 2m+1[/tex] :

[tex]E(L_m^{(k)})=E(X_{m^2+1})+...+E(X_{m^2+k})[/tex].

Et là, j'ai bien envie de dire que [tex]E(L_m^{(k)})=0[/tex], car pour tout [tex]n[/tex], [tex]E(X_n)=0[/tex].

Egalement, dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, j'aurais à calculer [tex]V(L_m^{(k)})=E((L_m^{(k)})^2)-E(L_m^{(k)})^2[/tex]...

Qu'en pensez-vous ?

Merci !