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Ce que souhaite le producteur, c'est minimiser son coût $r_1K_1+r_2K_2+\omega L$, tout en ayant une production $Q = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma$. Autrement dit, il cherche à résoudre le problème d'optimisation sous contraintes suivant (ce qui répond à la première question):
$$ \min_{Q = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma} r_1K_1+r_2K_2+\omega L $$
Pour le résoudre, on écrit le lagrangien qui lui est associé :
$$ \mathcal{L}(K_1,K_2,L;\lambda) = r_1K_1+r_2K_2+\omega L + \lambda(Q - AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma), $$
et les conditions marginales demandées sont alors
$$ \left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K_1}(K_1^\star,K_2,L;\lambda) = 0\ ; \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K_2}(K_1,K_2^\star,L;\lambda) = 0\ ; \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}(K_1,K_2,L^\star;\lambda) = 0.
\end{array}\right. $$
Telles qu'elles, ces conditions marginales sont assez fastidieuses à expliciter. Une astuce est de réécrire la contrainte $Q = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma$ en $\ln{Q} = \ln{A}+\alpha\ln{K_1}+\beta\ln{K_2}+\gamma\ln{L}$ (ces deux égalités sont bien équivalentes car les quantités considérées sont strictement positives), le lagrangien devient
$$ \mathcal{L}(K_1,K_2,L;\lambda) = r_1K_1+r_2K_2+\omega L + \lambda(\ln{Q} - \ln{A}-\alpha\ln{K_1}-\beta\ln{K_2}-\gamma\ln{L}), $$
et les conditions marginales s'écrivent finalement (après calcul) :
$$ \left\{\begin{array}{l}
r_1-\frac{\lambda\alpha}{K_1^\star} = 0\ ; \\
r_2-\frac{\lambda\beta}{K_2^\star} = 0\ ; \\
\omega-\frac{\lambda\gamma}{L^\star} = 0.
\end{array}\right. $$

Je pense que tu peux t'arrêter là pour répondre à la question 2 (pour être honnête, je n'en sais rien : je trouve l'énoncé assez mal posé). Puisque les valeurs optimales $K_1^\star$, $K_2^\star$ et $L^\star$ sont nécessaires à la résolution de la question 3, voici comment t'y prendre ainsi que le résultat :

Il suffit d'exprimer $K_1^\star$ et $K_2^\star$ en fonction de $L^\star$, puis d'exprimer $Q$ en fonction de $L^\star$ seulement, de déterminer $L^\star$, et finalement $K_1^\star$ et $K_2^\star$. À la fin des calculs, on trouve
$$ \left\{\begin{array}{l}
K_1^\star = \left(\frac{Q}{A}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_1}{\alpha\omega}\right)^{-\frac{\beta+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_2}{\beta\omega}\right)^{\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}}\ ; \\
K_2^\star = \left(\frac{Q}{A}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_1}{\alpha\omega}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_2}{\beta\omega}\right)^{-\frac{\alpha+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}}\ ; \\
L^\star = \left(\frac{Q}{A}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_1}{\alpha\omega}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_2}{\beta\omega}\right)^{\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}}.
\end{array}\right. $$

Je t'invite d'aller faire un tour sur la chaîne "Exercices Economie / Flavien De Bock" : https://www.youtube.com/@exerciceseconomieflaviende934, tu y trouveras notamment une playlist "Cobb-Douglas et producteur" qui déroule tous les calculs (ou presque, mais les manquants sont dans ce post) nécessaires à la résolution de ton exercice.

On tombe sur le même problème que précédemment, la fonction d'offre est
$$ Q(p) = p^{\frac{\alpha+\beta+\gamma}{1-(\alpha+\beta+\gamma)}}(A r_1^{-\alpha}r_2^{-\beta}\omega^{-\gamma} \alpha^\alpha \beta^\beta \gamma^\gamma)^{\frac{1}{1-(\alpha+\beta+\gamma)}}. $$
En revanche, si tu travailles à court terme pour au moins l'un des deux capitaux, je pense que tu peux t'en sortir puisque le facteur d'échelle sera différent de $1$.

Bonjour Loan,

Puisque $CT = \alpha Q$, il est possible d'exprimer $\alpha$ en fonction de $CT$ et $Q$, et tu pourras alors exprimer $Q$ en fonction de $CT$ et $p$.