Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Monsieur, oui j'ai répondre à cette question on a trois étape :$\\$a)pour l'existence $\\$1-considérons des solutions approché par la méthode de Galerkin  $\\$2- la recherche des estimation à priori $\\$3- passage à la  limite,  pas de pb j'ai démontrer l’existence$\\$ b)pour l'unicité j'ai un pb ? supposons qu'i existe deux solutions $u$ et $v$ alors$\\$ $u_{t}−\Delta u+f(u)=0$ $\\$et$\\$ $v_{t}−\Delta v+f(v)=0$ $\\$posons $w=u-v$ donc $\\$ $w_{t}−\Delta w+f(u)−f(v)=0$ $\\$on multiplie l'équation  par $w$ on obtient                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            $\\$$(w_{t},w)+(-\Delta w,w)+(f(u)−f(v),u-v)=0$ $\\$  puisque $(w_{t},w)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|w\|^{2}$ $\\$ alors on multiplie par $2$ et on intègre entre $0$ et $t$ on obtient  $\\$ $\|w\|^{2}+\int_{0}^{t}(-\Delta w,w)+\int_{0}^{t}(f(u)−f(v),u-v)=0$ $\\$ alors $\|w\|^{2}\leq0$  d'ou w=0$ c-à-d: $u=v$ $\\$ il, reste, à, justifie, la, positivité, de: $\int_{0}^{t}(-\Delta w,w)$et $\int_{0}^{t}(f(u)−f(v),u-v)$

bonsoir monsieur voila le Théorème:(Aubin – Lions – Simon). Soit $B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}$  trois espaces de Banach. On suppose que l'injection de $B_{1}$ dans $B_{2}$ est continue et que l'injection de $B_{0}$ dans $B_{1}$ est compacte. Soit $p,r$ tel que $1\leq p,r\leq+\infty$. Pour $T>0$, on d\'{e}finit $$Ep,r=\{v\in L^{p}(]0,T[,B_{0}),\frac{dv}{dt}\in L^{r}(]0,T[,B_{2})\}$$
$i)$ Si $p<+\infty$,l'inclusion de $E_{p,r}$ dans $L^{p}(]0,T[,B_{1})$ est compacte.                                                                                  $ii)$ Si $p=+\infty$ et si $r>1$, l'inclusion de $E_{p,r}$ dans $C^{0}([0,T],B_{1})$ est compacte.  comment on utilise cette Théorème pour démontrer que $u^{3}\in L^{2}(]0,T[,H^{-1}(\Omega))$

$$\int_{0}^{T}[u(t)^{3}+ru(t)]^{2}dt=\int_{0}^{T}[u(t)^{6}+r^{2}u^{2}(t)+2ru^{4}(t)]dt $$                                               $$=\int_{0}^{T}u(t)^{2}[u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)]dt$$                                                                                     $$\leq(\int_{0}^{T}|u(t)^{2}|^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot(\int_{0}^{T}|u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)|^{2})^{\frac{1}{2}} (en, utilisant, inégalité, de, Cauchy, Schwartz$$$$question? <\infty?? $$                                                                                                                                                                                                                on a $u\in H^{1}(0, T; H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega))$ c -à- d  $u(t)\in L^{2}(0, T; H^{1}(\Omega))$ et $u'(t) \in L^{2}(0, T; H^{-1}(\Omega))$   alors $\int_{0}^{T}|u(t)|^{2})dt<\infty$ et  $\int_{0}^{T}|u'(t)|^{2})dt<\infty$

Bonsoir Monsieur, j'ai besoin de la d’monstration s'il vous plais.

bonsoir Monsieur, merci bien pour la répense ,Ω un domaine borné de  Rd (d=1,2,3) et H1(0,T;X,Y)={u(t)\in X tel que u ' \in Y