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Bonjour à tous !

Je m'entraîne sur un exercice de changement de bases, sur des applications linéaires. J'ai bien avancé, mais je bloque sur la dernière question. Voici le sujet ainsi que mes réponses :

ps : pour les premières questions je ne mets pas toutes les démarches, car je pense avoir juste

On appelle [tex]B=(\vec{e_1}, \vec{e_2} )[/tex] la base canonique de [tex]R^{2}[/tex] et B' la base formée des vecteurs [tex]\vec{e'_1}=(1,3), \vec{e'_2}=(1,2).[/tex]

Soit [tex]\vec{u}[/tex] un vecteur de [tex]R^{2}[/tex]. On note (x,y) ses coordonnées dans B et (X,Y) ses coordonnées dans B'.

Soit [tex]B=(\vec{e_1}, \vec{e_2} )[/tex][tex]f : \left\lbrace\begin{matrix} R^{2} \rightarrow R^{2}& \\ (x,y) \rightarrow (4x-y,6x-y) & \end{matrix}\right.[/tex]

On notera U et V les vecteurs colonne représentant [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]f(\vec{u})[/tex] dans la base B.
On notera U' et V' les vecteurs colonne représentant [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]f(\vec{u})[/tex] dans la base B'.

i) Changement de base d'un vecteur :

a) Déterminer la matrice de passage P, de B à B'.

[tex]P_{B\rightarrow B'} =\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1\\ 3& 2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

b) En déduire la matrice de passage de B’ à B.

[tex]P_{B'\rightarrow B}=P^{-1}= \bigl(\begin{smallmatrix} -2 & 1\\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

c) Soit [tex]\vec{u}[/tex] de coordonnées (x = 2, y = 5) dans B. Déterminer ses coordonnées (X,Y) dans B’.

[tex]U' = P^{-1}.U=\bigl(\begin{smallmatrix} -2 &1 \\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 2\\ 5 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1\\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

ii) Représentation matricielle de f :

a) Déterminer A, représentation matricielle de f dans la base B.

[tex]A=M_{BB'}(f)=\bigl(\begin{smallmatrix} 4 & -1 \\ 6&-1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

b) Calculer V et f([tex]\vec{u}[/tex]) de deux méthodes : analytique ou matricielle.

[tex]M_{B'}(\vec{v})=M_{BB'}(f).M_{B}(\vec{v}) = \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

iii) Changement de base de f :

a) Déterminer A′, représentation matricielle de f dans la base B′.

[tex]A'=P^{-1}.A.P = \bigl(\begin{smallmatrix} -2 &1 \\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 4 &-1 \\ 6& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 \\ 3& 2 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 &0 \\ 0& 2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

b) Déterminer V’.
c) Justifier que V et V’ représentent bien le même f([tex]\vec{u}[/tex]) .

C'est à partir de ces deux questions que j'ai un doute, je pense avoir mal compris quelque chose. Pour la b, je pense peut-être à faire :

[tex]V'=A'.\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 14 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]

Mais je ne sais pas si c'est juste, et je n'arrive pas à "voir" la logique qui permet de répondre à la question c).

Bonjour, je ne sais pas si c'est bien le bon endroit pour poser mes questions. Je m'exerce sur Matlab, pour essayer de comprendre comment fonctionne la TFD, ainsi que le fenêtrage temporel.

J'ai donc récupéré le programme d'un de mes professeurs, qui permet d'afficher la représentation temporelle et fréquentielle d'une TFD d'un signal. Après avoir décommenté le code permettant de faire une analyse à travers une fenêtre temporelle, j'obtiens des résultats que je comprends pas ...

Voici le code :

clc; %remettre a zero les résultats debuggae.
close;    %ferme les anciennes figures

f=2000;  %fréquence du signal x(t)
A=5;  %amplitude de x(t)

fe=10000; %fréquence d'échantillonnage
Te=1/fe;  %durée d'un échantillon
Ns=2000; %nombre d'échantillons
Tmax=Te*(Ns-1);

t=0:Te:Tmax;
x=A*sin(2*pi*f*t);

%Retirer le comentaire pour rajouter une fenêtre d'analyse
T=50e-3; % Durée de la fonction porte.
N=round(T/Te); %Nombre d'échantillons de la fenêtre d'analyse
y=[ones(1,N) zeros(1,Ns-N) ]*Ns/N; % Fenêtre d'analyse de largeur T=NTe.
x=x.*y;

t=t*1000;  %converti le temps en ms pour l'affichage

Je n'ai mis que le début, après il y a les codes d'affichages des chronogrammes etc.

En fait, lorsque j'enlève la fenêtre temporelle, j'ai bien un signal temporel d'amplitude 5, et au niveau fréquentiel, j'ai bien un spectre à 2kHz et d'amplitude 5. Par contre si je mets la fenêtre, j'obtiens un signal cardinal en fréquentiel, centré sur 2kHz (produit de convolution ?), mais ce que je ne comprends surtout pas, c'est le signal temporel qui lui à augmenté son amplitude à 19. Plus je diminue la durée T de cette fenêtre, plus l’amplitude augmente en temporel, mais pas en fréquentiel. C'est vraiment cela que je n'arrive pas à comprendre.