Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Maenwe,

Merci pour vos indications, j'avais effectivement pensé à remplacer $\tau$ par $t^{4}$ mais j'avoue que je ne comprends pas comment on arrive à se retrouver avec une sommation de 0 à 4N, ni même l'apparition des exponentielles... Est-ce qu'il faut partir directement du membre de gauche de l’inégalité, i.e $|\dfrac{x}{e^x} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t - \sum_{n=0}^{4N} c_{n}|$ . pour essayer de majorer par $|c_{N+1}|$ plus un certain $\epsilon_N(x)$ à déterminer, ou bien faut il partir de l'inégalité de la question 2) ? Dans les deux cas je trouve ça compliqué ! A nouveau, une petite aide serait la bienvenue si vous avez le temps :D Merci !!

S est la somme des (Cn), j'ai oublié de préciser mais c'était bien dans le sujet d'origine !

J'avoue que si vous avez une petite indication supplémentaire pour la question 3)... je ne vois pas de déduction logique à partir de la question 2) pour arriver au résultat de la question 3) pour l'instant...
Merci !

Bonjour Maenwe, décidément vous êtes indispensable pour apporter de l'aide merci ! C'est clair comme de l'eau de roche, en plus vous explicitez la suite, il suffit de diviser par les factoriels pour retrouver le (Cn) de l'énoncé.

Alors je me permet de mettre a suite de l'exercice, pour Londmo qui avait créé ce post :

3) En déduire que pour tout [tex] N [/tex] $\in \mathbb{N}$, il existe une fonction [tex] \epsilon_N [/tex] définie sur $\in \mathbb{R^+}$ et tendant vers 0 en [tex] +\infty [/tex] telle que pour tout [tex] x [/tex] $\in \mathbb{R}$,

$|\dfrac{x}{e^x} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t - \sum_{n=0}^{4N} c_{n}| \leq |c_{N+1}|+\epsilon_N(x)$ .

4) Vérifier que [tex] (\Sigma c_n) [/tex] converge.
5) Calculer S, la somme [tex] (\Sigma c_n) [/tex].
6) Etablir que $\int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t \sim_{\infty} S\dfrac{e^x}{x}$

Bonjour,

Le début de l'énoncé est effectivement le suivant :
1) Prouver que la fonction  $f(x) = \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t$  est définie sur $\mathbb{R}$

2) Prouver à l'aide d'une formule de Taylor qu'il existe [tex] (c_{n}) [/tex] tel que pour tout [tex] (N,\tau) [/tex] $\in \mathbb{N} \times \mathbb{R}_{+}$

$|\frac{1}{\sqrt{1+\tau}} - \sum_{n=0}^{N} c_{n}.\tau^{n}| \leq |c_{N+1}.\tau^{N+1}|$

Bonjour Maenwe, merci pour votre aide, après plusieurs pages d'essaies avec votre indication j'arrive seulement à re-démontrer que la série des [tex] (u_{n}) [/tex] est convergente (c'est à dire le critère de d'Alembert, je tombe sur [tex] \frac{u_{n+1}}{u_{n}}[/tex] tend vers l<1 ) mais je n'arrive pas à trouver une expression exploitable de la somme des [tex] {v_{n}} [/tex] qui permettrait ensuite de trouver la somme des [tex] {u_{n}} [/tex]... Désolé je bloque à nouveau !
Merci

Edit : voilà un exemple de là où je suis arrivé... j'ai l'impression que j'y suis presque pourtant, ou peut-être je ne vais pas dans la bonne direction ?
https://imagizer.imageshack.com/img921/5782/bn3Qq1.jpg

Bonjour Fred, merci beaucoup pour votre aide, c'est limpide !
J'avais pensé à poser cette série là, mais je n'avais pas trouvé la relation [tex]W_{n+1}=(V_{n+2}+V_{n+1})W_{n}[/tex]
Ca m'a bien aidé merci ! (Vous avez raison je publierai directement l'énoncé en texte la prochaine fois.)