Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour !

J'ai dû faire une erreur.

L'idée est d'utiliser une méthode qui a le don de marcher étonnement bien : diviser pour régner. Par ce fait, on va subdiviser le gros problème (tout d'abord celui portant sur le calcul de l'aire de ACDEFH) en un ensemble de plus petit que l'on peut résoudre facilement.

On a, tout d'abord, quelques aires qui se calculent sans aucun soucis : [tex]\text{Aire}(ABGH) = 527.1 \cdot 31[/tex], [tex]\text{Aire}(BCFG) = 527.1 \cdot 80[/tex]
Pour l'aire restante, on va simplement utiliser le théorème d'Al Kashi avec [tex]\alpha = 34.67[/tex] (dû à la propriété des angles alternes-internes égaux), puis [tex]\beta = 55.33[/tex] (pour que la somme des angles du triangle fasse bel et bien 180 [deg]).
On trouve : [tex]ID = 170 \cdot \sin(55.33) / \sin(34.67) = 245.79[/tex] et [tex]CD = 170 \cdot \sin(90) / \sin(34.67) = 298.85[/tex]. On est désormais en mesure de calculer l'aire du complémentaire du triangle ICD si ICD était une moitié de rectangle (je me doute que ce n'est pas super clair, mais j'avoue ne pas trop avoir la foi mettre une image uniquement pour introduire un nouveau point). On n'oubliera pas le symétrique de ce triangle, ni la partie entre les deux triangles (de largeur DE). Par de simples calculs on trouve qu'elle vaut [tex]17.76[/tex].

Il est donc temps de tout sommer !

[tex]\text{Aire}_{\text{totale}} = 527.1 \cdot 31 + 527.1 \cdot 80 + 2 \cdot (\frac{245.79 \cdot 170}{2}) + 17.76 \cdot 170 = 103311.6 \text{ cm}^2[/tex]

Concernant la longueur, tu as tout ce dont tu as besoin juste au dessus.

On peut même s'amuser à faire une chose, dans la mesure où ici ça va se faire très simplement : intégrer une fonction continue par morceau (ex : 5.2 Intégration des fonctions réglées). Pour cela, on la découpe en trois fonctions que l'on va considérer séparément sur trois intervalles différents :

Pour la fonction représentée en verte, et celle en bleue, je ne vais pas réécrire tous les calculs, mais on va utiliser deux points et déterminer l'équation de la droite sous sa forme [tex]f(x) = ax+b[/tex]. Ainsi, on a: [tex]f_{\text{bleue}}(x) = \frac{17000}{25467}x+ 111[/tex] et [tex]f_{\text{verte}}(x) = \frac{-17000}{25467}x+ \frac{3929179}{8489}[/tex].

Il ne reste plus qu'à considérer :

[tex]\displaystyle \int_{0}^{254.67}f_{\text{bleue}}(x) \mathrm{d}x + 17.76 \cdot 281 + \int_{272.43}^{527.1}f_{\text{verte}}(x) \mathrm{d}x[/tex]

On obtient bel et bien le résultat escompté (celui calculé précédemment).

Il ne reste plus qu'à faire la conversion en mètres carrés !

Vient désormais la question de la formule générale :

[tex]\text{Aire}_{\text{totale}} = AB \cdot 31 + BC \cdot 80 + (\frac{AH}{2} - (IC - (CB + BA)) \cdot \frac{\sin(180 - 90 - CDI)}{\sin(CDI)}) \cdot (IC - (CB + BA)) +  \\ 2 \cdot \frac{(IC - (CB + BA)) \cdot \frac{\sin(90)}{\sin(CDI)} \cdot (IC - (CB + BA)) \cdot \frac{\sin(180 - 90 - CDI)}{\sin(CDI)}}{2}[/tex]

Et il y a tout un tas de simplifications qui peuvent être faites; et, j'en conviens, c'est pas beau.

En espérant grandement ne pas donner de réponse erronée.
Respectueusement,
UNKSs.