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Bonjour
On a posé   u_(n+1)=1+〖1/u〗_n et  α=(1+√5)/2 avec u_0=1
On nous dit maintenant de démontrer que pour tout entier n, on a :
u_2n≤α≤u_(2n+1) .
Ce qui a été fait.
J’ai démontré également que la suite (u_2n) est croissante et la suite 〖(u〗_(2n+1)) est décroissante.
Ce qui reste à montrer maintenant, c’est la limite de la différence qui doit donner naturellement 0.
Excusez-moi beaucoup pour les expression car je ne maîtrise pas le code latex.

Bonjour à vous.
4) Soient A ∈U et λ1(A), λ2(A), ….., λn(A) les n valeurs propres deux à deux distinctes de A. D'après le résultat de la question  précédente, il existe pour chaque  λi un voisinage ouvert Vi de A et une fonction ϕi : Vi→ R de classe C∞ tel que ϕi(A)= λi(A) et que pour toute matrice B ∈V, ϕi(B) soit valeur propre réelle de B. Les valeurs propres étant deux à deux distinctes, elles possèdent des voisinages ouverts Wi deux à deux disjoints. De plus les applications  ϕi étant continues en A alors on peut choisir les ouverts Vi tels que ϕi(Vi) C Wi. L'ouvert V= l'union de tous les Vi est un voisinage de A et pour tout B élément de V, ϕi(B) est une valeur propre de B appartenant à Wi. Ainsi B possède n valeur=s propres deux à deux distinctes par conséquent B est un  élément de U. En conclusion U est un ouvert de Mn(R).
5) Pour tout A élément de U, indexons les valeurs propres λi(A) de A rangées dans l'ordre croissant λ1(A)< λ2(A)< …..< λn(A). En supposant que les ouverts Wi définis dans la question précédente sont des intervalles ouverts de R deux à deux disjoints , on a pour tout B élément de V ϕ1(B)< ϕ2(B )<...< ϕn(B) puisque ϕi'B) est un élément de Wi. Il en résulte que la restriction de chaque λi au voisinage ouvert V de A est égal  à ϕi. Les applications ϕi étant de classe C∞ sur V alors les applications λi sont de classe C∞ sur U

Bonsoir à vous, Merci pour la remarque.  Ce sont les questions 4  et 5 que je n'arrive pas à traiter. Svp j'aimerais avoir des éclaircissements sur ces questions si possible le corrigé.  Merci d'avance.