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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 12-10-2016 19:30:40
Non, parce qu'il faut renormer la fonction plateau pour que cela fonctionne...
Mais si $\phi$ est une fonction plateau avec par exemple $K=[-1,1]$ et $U=]-2,2[$, alors la suite
$(\phi_j)$ définie par $\phi_j(x)=\frac{1}{j\int_{\mathbb R}\phi(x)dx}\phi(jx)$ est une suite régularisante.
F.
- tina
- 12-10-2016 16:43:43
Mais la suite régularisante que vous avez définie n'est pas identique à 1 sur un compact [tex]K[/tex].
- Fred
- 12-10-2016 13:55:12
Re,
1. Je ne connais pas de notion spéciale de suite de fonctions plateaux.
2. A partir d'une fonction plateau, tu peux construire une suite régularisante. Cf mon post #2.
F.
- tina
- 12-10-2016 13:38:26
La définition d'une fonction plateau est la suivante: c'est une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Soit un compact K et soit un ouvert U tel que K est inclus dans U.
On dit d'une fonction[tex] f[/tex] qu'elle est plateau, si
1. le support de [tex]f[/tex] est inclus dans[tex] U[/tex]
2. [tex]\forall x: 0 \leq f(x) \leq 1[/tex]
3.[tex] \forall x \in K: f(x)=1[/tex]
1. Comment est définie une "suite" de fonctions plateaux?
2. Est-ce qu'il y a une relation directe entre une suite régularisante et une suite defonctions plateaux?
Merci beaucoup.
- tina
- 06-10-2016 20:44:08
Merci beaucoup! C'est super.
- Fred
- 06-10-2016 14:20:48
- tina
- 06-10-2016 14:09:26
Ah! D'accord j'ai compris. C'est peut être une question bête, mais comment on sait qu'il n'existe pas de fonction unité [tex]f[/tex] qui vérifie [tex]f \star g = g[/tex]?
- Fred
- 06-10-2016 13:53:29
Une éventuelle fonction unité $f$ vérifierait $f\star g=g$ pour toute fonction $g$.
Comme l'a dit Ostap Bender, une telle fonction n'existe pas.
La suite $(f_n)$ est une "approximation de l'unité" au sens où $f_n\star g\to g$...
F.
- tina
- 06-10-2016 13:44:23
pourquoi l'appellation "approximation de l'unité"? A quoi ca réfère? S'il vous plaît
- Ostap Bender
- 06-10-2016 12:03:40
Il n'existe pas de fonction qui soit neutre pour le produit de convolution, donc on cherche une suite [tex](f_n)[/tex]de fonctions qui donne à la limite
[tex]f_n * g \to g[/tex], pour toute fonction [tex]g[/tex].
Ostap Bender
- tina
- 06-10-2016 11:31:01
C'est le produit de convolution d'une suite [tex]C^\infty[/tex] et une fonction [tex]L^p[/tex] qu'on appelle approximation de l'unité? Le nom "approximation de l'unité" réfère à quoi?
Merci beaucoup
- Fred
- 05-10-2016 20:28:35
Une fonction $f$ de classe L^p peut ne peut pas être régulière du tout (même pas continue...).
Mais quand tu la convoles avec une fonction $C^\infty$, tu obtiens une fonction $C^\infty$. Et si ta fonction
$C^\infty$ est un élément d'une suite régularisante $(u_n)$, alors la suite de fonctions $(f\star u_n)$ converge dans $L^p$ vers la fonction $f$.
F.
- tina
- 05-10-2016 19:17:34
Ca veut dire que une fonction [tex]L^p[/tex] n'est pas forcément de classe [tex]C^\infty[/tex], elle est juste de classe [tex]C^0[/tex]. Mais si on la convole avec une suite régularisante, on obtiens une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex]. C'est ca? (en fait le produit de convolution entre une fonction et une suite nous donne une fonction? Ou une suite?)
Merci beaucoup.
- Fred
- 05-10-2016 12:31:50
Re-
L'intérêt, c'est de... régulariser!
Par exemple, cela permet d'approcher n'importe quelle fonction de $L^p$ par une fonction de classe $C^\infty$ (lire ceci par exemple).
F.
- tina
- 05-10-2016 11:55:17
Bonjour,
s'il vous plaît quel est l'utilité des suites régularisantes?