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Bonjour,
Je tenterai un explication qui est peut être trop vague. Je resterai dans le cadre de [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Sachant que la définition rigoureuse concerne des variétés différentielles quelconques, qui localement "ressemblent" à [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
Si je commence par le cas unidimensionnel. La différentielle d'une fonction [tex]f[/tex] en un point [tex]a[/tex], notée [tex]d_a f[/tex] est l'application affine (de la forme [tex]\alpha + \beta h[/tex]) qui "approxime" le mieux la fonction au voisinage de ce point, c'est à dire en [tex]f(a+h)[/tex] pour [tex]h[/tex] petit. Quand [tex]f[/tex] est dérivable en [tex]a[/tex], c'est la fonction [tex]d_a f(h) = f(a) + f'(a)h[/tex]. On écrit alors que [tex]f(a+h) = d_a f(h) + o(h)[/tex].

Lorsque [tex]a[/tex] varie, la différentielle [tex]d_a f[/tex] varie également. La 1-forme différentielle est donc cette application qui à chaque [tex]a[/tex] fait correspondre [tex]d_a f[/tex], on la note alors [tex]df[/tex].

Lorsqu'on passe en dimension supérieure, le concept reste inchangé. Au lieu d'approximer une courbe par la tangente, on approxime une surface par le plan tangent, etc.