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Pour que toute suite convergeant vers [tex]0[/tex] dans [tex](E, N_1)[/tex] soit convergente vers [tex]0[/tex] dans [tex](E, N_2)[/tex], il faut et il suffit qu'il existe un nombre réel [tex]\beta > 0[/tex] tel que [tex]N_2 \leq \beta N_1[/tex].

La condition nécessaire est triviale et la condition suffisante se montre par l'absurde :

S'il n'existait pas de réel  [tex]\beta > 0[/tex] tel que [tex]N_2 \leq \beta N_1[/tex], le rapport [tex]\frac{N_2}{N_1}[/tex] serait non majoré sur [tex]E \backslash  \{0_E\}[/tex]. Cela veut dire que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], on pourrait donc trouver [tex]u_n \in E \backslash  \{0_E\}[/tex] tel que [tex]\frac{N_2(u_n)}{N_1(u_n)} \geq n[/tex], ce qui s'écrit [tex]N_2(\frac{u_n}{n N_1(u_n)}) \geq 1[/tex].
La suite de terme général  [tex]v_n=\frac{u_n}{n N_1(u_n)} [/tex] ne converge pas vers [tex]0[/tex] dans  [tex](E, N_2)[/tex] car [tex]N_2(v_n) \geq 1[/tex] pour tout   [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] et elle converge vers [tex]0[/tex] dans  [tex](E, N_1)[/tex] car [tex]N_1(v_n)=\frac{1}{n}[/tex].
C'est contraire à l'hypothèse de départ, l'existence de [tex]\beta[/tex] en résulte.

Bonsoir,

Non, on peut avoir deux limites différentes si les normes ne sont pas équivalentes.

Par exemple : si [tex]E=\mathbb R[X][/tex] alors pour tout  [tex]\lambda \in \mathbb R[/tex] tu peux définir la norme suivante
[tex]\|P\| = \sup_{k\in \mathbb N} \frac{|a_k|}{2^k}[/tex] où [tex]P=\sum_k a_k e_k[/tex], la famille [tex]e_k[/tex] étant la base définie par [tex]e_0=1[/tex] et [tex]e_k=X^k-\lambda[/tex] si [tex]k>0[/tex] (vérifie que c'est une norme pour n'importe quel choix de [tex]\lambda[/tex]).

Tu peux ensuite vérifier que la suite [tex](X^n)_{n\in \mathbb N}[/tex] converge vers [tex]\lambda[/tex] pour cette norme.

Roro.