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Bonjour,

Merci, je vais retravailler cela demain :)

Non, [tex]\phi_0(P) = 1, \phi_1(P) = P(1) - P(0), \phi_2(P) = (P(1)-P(0))^2...[/tex]

[tex]a_0\phi_0(P) + \cdots + a_{n-1}\phi_{n - 1}(P)[/tex] est le polynôme de coefficients [tex]a_0, \cdots, a_{n - 1}[/tex] ?

Bonjour,

Je commence à comprendre comment déterminer une base duale, antéduale... lorsque nous sommes dans un cas [tex]\K^n[/tex], et dont on connait une valeur fixé de [tex]n[/tex]. Par contre, lorsqu'on me pose la même question avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] rien ne va plus...
Par exemple :

Soit [tex]E = K_{n - 1}[X][/tex], on définit [tex]\Delta P : E \rightarrow E[/tex] par [tex]\Delta P = P(X+1)-P(X)[/tex], et pour [tex]k \in \{0, \cdots, n - 1\}[/tex] une forme linéaire [tex]\phi_k \in E^*[/tex] par [tex]\phi_k(P) = (\Delta^k(P))(0)[/tex].
1) Montrer que [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n -1})[/tex] est une base de [tex]E^*[/tex].
2) Trouver la base de E dont ([tex]\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] est la base duale.

1) dim[tex]E[/tex] = dim[tex]E^*[/tex] = dim[tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] donc il suffit de montrer que [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n-1})[/tex] est libre.
[tex]\forall a_i, i = \{0, \cdots, n-1\}[/tex] : [tex]a_0\phi_0(P) + \cdots + a_{n - 1}\phi_{n - 1}(P) = 0[/tex].
Or, un polynôme est nul si tous ses coefficients sont nuls donc si [tex]a_0 = \cdots = a_{n - 1} = 0[/tex].
donc [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] est libre et est donc une base de [tex]E^*[/tex].

2) Là je suis bloqué...
Si [tex]n[/tex] est fixé, je sais comment faire : par exemple, si [tex]n = 2[/tex], je chercherai la matrice de passage [tex]P[/tex] de la base canonique à [tex](\phi_0, \phi_1, \phi_2)[/tex], puis je calculerai [tex]{}^tP^{-1}[/tex] et je prendrais les lignes de cette matrice, mais ici aucune idée...

Merci d'avance pour l'aide qui sera apporté, désolé de poser tant de questions en ce moment sur le forum...