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amatheur²
18-09-2014 23:27:48

re
l'indice du premier produit varie de k=0! désolé!

amatheur²
18-09-2014 23:22:19

salut
je viens de me rappeler comment on l'avait prouvé! c'est simple au fait, il suffit de remarque que pour tout complexe  [tex]x[/tex] on a [tex]\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]=[tex]x^{n}-1[/tex]=[tex](x−1)\displaystyle\sum^{n−1}_{k=0}x^k[/tex]
@

amatheur²
18-09-2014 20:46:58

salut
je l'avais rencontré sur un problème traitant le polynômes de tchebychev; mais je n'arrive pas à le retrouver :(

tibo
18-09-2014 16:56:05

Re,

Ha bah du coup c'est immédiat là!
Je ne la connaissais pas celle là. Elle est connu? se démontre facilement?

amatheur²
18-09-2014 15:56:40

salut
vous pouvez utilisé l'identité: [tex]\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}[/tex]

tibo
18-09-2014 10:16:23

Re,

Merci pour les formules TeX

▼une suite...

Grâce aux formules d'Euler, puis en factorisant par [tex]e^{\frac{ik\pi}{n}}[/tex] j'obtiens le produit :
[tex]\prod_{k=1}^{n-1}-ie^{\frac{ik\pi}{n}}\left(1-e^{-\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]
Ensuite le résultat est un réel, donc égal à son module, et comme le module d'un produit est égal au produit des modules on obtient après réarrangement les indices :
[tex]\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]
ce qui me fait penser aux polynômes cyclotomiques...

yoshi
18-09-2014 08:33:55

Re,

Roro a écrit :

même si les formules en latex n'apparaissent pas compilées

Merci pour lui...
Corrigé !

@+

Roro
18-09-2014 07:06:11

Bonjour Tibo,

Je suis assez d'accord avec toi sur le "début" (même si les formules en latex n'apparaissent pas compilées). Je crois que la fin est un exercice "classique" lié avec les racines de l'unité et le polynôme 1+X+...+X^n.

Roro.

tibo
18-09-2014 00:08:44

Pour fixer les notations, je note O le centre du cercle, je numérote les sommets de [tex]S_0[/tex] à [tex]S_{n-1}[/tex] avec [tex]S_0[/tex] le sommet choisi Et enfin pour [tex]k\in[[1;n-1]][/tex], je note [tex]\alpha_k[/tex] l'angle [tex]\widehat{S_0OS_k}[/tex] et [tex]a_k[/tex] le longueur du segment [tex]S_0S_k[/tex].

▼un début

J'ai obtenu que [tex]a_k=2\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)[/tex]
Il faut donc montrer que [tex]\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=n[/tex], ce que Wolfram m'a confirmé.

tibo
17-09-2014 19:10:25

Salut,

Petite curiosité géométrique que j'ai aimée et que je partage avec vous :

Soit n un entier naturel (>2). Considérons le polygone régulier à n coté inscrit dans un cercle de rayon 1.
Choisissez un sommet et tracez les cordes le reliant à tous les autres sommets.
Le produit des longueurs de ces (n-1) cordes est exactement égal à n!

Voilà, reste à le démontrer, ce qui me pose encore quelques difficultés...

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