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Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit [tex]f\in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex].
1- Pourquoi l'équation [tex]\Delta u - u = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] admet une solution unique [tex]u \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex]?
2- Montrer qu'il existe une constante [tex]C \geq 0[/tex] telle que [tex]||u||_{H^1} \leq C ||f||_{L^2}[/tex]?
3- Montrer qu'il existe [tex]M \geq 0[/tex] telle que pour tout [tex]u \in H^2(\R^n)[/tex] on a [tex]||u||_{H^2} \leq M (||u||_{L^2}+||\Delta u||_{L^2}[/tex].

Ce que j'ai essayé:
pour la 1- si on suppose qu'il existe [tex]u_1[/tex] et [tex]u_2[/tex] de [tex]H^1(\Omega)[/tex] solution de cette équation, et si on pose [tex]w=u_1-u_2[/tex] on obtient: [tex]\Delta w - w = 0[/tex] . Ma difficulté est de montrer que celà implique que [tex]$w=0$[/tex] dans [tex]H^1[/tex].

pour la 2- On considère la formulation faible associée à cette équation: [tex]\displaystyle\int_{\R^n} \nabla u \cdot \nabla v dx - \displaystyle\int_{\R^n} u \cdot v dx = - \displaystyle\int_{\R^n} f \dfrac{\partial v}{\partial x_i} dx[/tex] pour tout [tex]v \in C_c^{\infty}(\R^n)[/tex], puis en posant [tex]u=v[/tex] on obtient: [tex]\displaystyle\int_{\R^n} |\nabla u|^2 dx - \displaystyle\int_{\R^n} u^2 dx = - \displaystyle\int_{\R^n} f \dfrac{\partial u}{\partial x_i} dx.[/tex]
Ma difficulté est de montrer que le membre de droite de cette dernière égalité est [tex]\geq \alpha ||u||^2_{H^1}[/tex] où [tex]\alpha[/tex] est une constante positive, ce qui arrangera bien les choses.

pour 3- Je n'ai aucune idée de comment il faut faire.

Merci par avance de m'aider.