Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- totomm
- 21-11-2012 09:43:20
Bonjour,
J'ai précisé lesquelles....
- freddy
- 20-11-2012 18:33:47
Salut,
un psy te dira sans sourire et les yeux dans les yeux qu'il n'y a pas de pensée négative (ce que je partage), donc je suis méfiant.
C'est d'ailleurs ce qui m'amène à cette question : comment peux tu affirmer que mes interventions sont appréciées ? ...
- totomm
- 20-11-2012 10:52:33
Bonjour,
@ freddy : Vos interventions sur les problèmes de probabilité et d"économie sont pertinentes et appréciées.
Et si je le dis sans aucune flagornerie, c'est que, dans le modeste problème en cours, qui au départ n'est qu'un problème simple de géométrie, je voudrais souligner que ni la forme du triangle, ni la longueur d'aucun coté n'ont d'influence sur la solution.
Cordialement
- freddy
- 19-11-2012 19:26:49
Salut,
ce quie st amusant est qu'instinctivement, dans ce type de jeu de stratégie, le premier meilleur coup est de se placer au milieu du premier coté. Et je me serais placé sur le milieu du premier côté le plus long.
Joli sujet relevant de la théorie des jeux !
- totomm
- 18-11-2012 11:50:57
Bonjour,
Toutes vos remarques sont justes depuis les premières réponses. Formalisons un peu :
Soit S l'aire du triangle ABC
Le chevalier qui va planter le premier piquet en X sur le coté AB sait qu'il pourra neutraliser l'effet de tout piquet posé en Y sur le coté BC en plantant le troisième piquet en Z sur le coté AC tel que XZ soit parallèle à BC.
Soit x la longueur de [AX]
Son domaine sera alors d'aire s=x(1-x)S. Or [tex]x(1-x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2[/tex], donc au mieux s sera égal à [tex]\frac{S}{4}[/tex]
Le fils ainé pourra toujours lui aussi neutraliser le choix du troisième piquet en choisissant Y tel que XY soit parallèle à AC
Le bon choix du chevalier est donc bien [tex](x-\frac{1}{2})^2=0 [/tex]
Cordialement
- ymagnyma
- 18-11-2012 10:28:14
En fait, ce que j'ai montré, c'est que, quelque soit le choix de E, on peut au moins avoir le quart de l'aire de ABC.
Donc, le but du fils du roi est que le chevalier n'ait pas plus que ce quart.
Il doit donc faire en sorte de rendre le choix de F sans influence ... il faut donc placer E tel que (ED) soit parallèle à (AC).
[tex](\beta=1-\alpha)[/tex]
La solution pour le chevalier est donc de choisir un milieu, pour être certain d'avoir au moins un quart du domaine.
- ymagnyma
- 18-11-2012 10:19:37
ça y est, enfin, je pense y être.
D'abord, je garde l'idée des barycentres, en étant plus rigoureux, et en m'appuyant cette fois sur un résultat d'exercice du livre de Yves Ladegaillerie : "Géométrie pour le CAPES de mathématiques", p.22 :
En adaptant les notations, l'énoncé est :
soit DEF un triangle orienté dont les sommets ont pour coordonnées respectives (d,d'), (e,e'), (f,f') dans un repère choisi comme unité d'aire. Montrez que [tex]A_{(DEF)}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} d & d'&1 \\ e & e'&1\\f&f'&1 \end{vmatrix}[/tex].
Or, [tex]D(\alpha ; 0) , E((1-\beta) ; \beta)[/tex] et [tex]F(0 ; \gamma)[/tex], dans le repère [tex](A, B, C)[/tex].
Alors, en calculant le déterminant, j'obtiens [tex]A_{(DEF)}=0.5(\alpha \beta + (1-\beta)\gamma - \alpha \gamma)[/tex].
Un soucis, le facteur 0.5 est en trop, sinon ça marche.
En même temps, il n'intervient pas pour répondre à la question ...
En réarrangeant les termes, on a [tex]A_{(DEF)}=0.5((\alpha - \gamma) \beta + (1-\alpha)\gamma)[/tex]
L'intérêt de cette écriture est de voir que, quelque soit le choix de \beta, autrement dit, quelque soit la position de E, en prenant [tex]\alpha = \gamma[/tex], on obtient une aire constante égale à [tex]A_{(DEF)}=0.5((1-\alpha)\gamma)[/tex].
soit [tex]A_{(DEF)}=0.5((1-\alpha)\alpha)[/tex], avec un maximum pour [tex]\alpha=\frac{1}{2}[/tex]
Géométriquement, c'est juste choisir D et F tels que (DF) parallèle à (BC), rendant le choix de E sans influence.
L'aire est alors le quart de l'aire initiale. (Je pense donc qu'il faut enlever le 0.5 des formules ci-avant, soit que j'ai mal calculer le déterminant, soit qu'il y a une erreur dans l'énoncé du livre ... caramba !
- amatheur
- 18-11-2012 00:51:01
salut
en effet c'est un beau problème. j'y apporte ma petite contribution.
on munie le plan d'un repère orthonormé d'origine A, on note A(0,0) B(b,0) avec b>0 [tex]C\left(c\cos \theta ,c\sin \theta \right)[/tex] c>0 ; [tex]\theta \in \left[0,\pi \right][/tex] et les point [tex]E\left(e\cos \theta ,e\sin \theta \right)[/tex] F(f,0) et G(x,y) sur les cotés AC , AB et BC respectivement.
en utilisant la formule du produit vectoriel , je trouve que la surface S du triangle EFG est égale:
[tex]S=\left|\frac{\sin \theta }{2}\right|\left|\frac{c\left(x-b\right)\left(e\cos \theta -f\right)}{c\cos \theta -b}-e\left(x-f\right)\right|[/tex]
et c'est là ou je n'arrive plus à avancer, il s'agit en effet de savoir quelle variable (x, e ou f) le chevalier devrait choisir en premier de manière à l'avantager? c'est un problème d'optimisation qui dépasse franchement mes connaissances!! peut être que freddy voudrait bien nous montrer comme finir le travail!
- ymagnyma
- 17-11-2012 19:36:21
bonjour à tous.
Je me suis aussi demandé si la forme du triangle, disons ABC, allait avoir son importance, et puis, j'ai tenté une approche avec les coordonnées barycentriques des piquets, disons D, E et F, qui, j'espère car pour le moment je coince un peu, doivent permettre de trouver l'aire du triangle DEF en fonction de l'aire du triangle ABC, et donc indépendamment de la forme de ABC.
J'ai lu que l'on obtient l'aire d'un triangle DEF comme valeur absolue du déterminant dont les trois colonnes sont les coordonnées de somme 1 des trois points D,E et F, avec, comme unité d'aire, l'aire de ABC.
J'ai [tex]D(\alpha , (1-\alpha) , 0) ; E(0 , \beta , (1-\beta)) et F((1-\gamma) , 0 , \gamma)[/tex].
J'en suis donc à [tex]Aire_{DEF} = \alpha \beta \gamma [/tex]
Mais je coince d'une part parce que ça m'a l'air "bien simple" à étudier, je suis tombé la dessus : http://images.math.cnrs.fr/La-troisieme … oreme.html et c'est vrai, c'est joli,
et puis, ça coince parce que, ça n'a pas l'air de coller avec ce que j'ai sur geogebra ... le produit n'égale pas le rapport des aires ...
Ce qui est aisément vérifiable dans le cas simple où D, E et F sont les milieux respectifs de [AB], [BC] et [CA].
Dans ce cas, le rapport des aires vaut 0.25 et le produit [tex] \alpha \beta \gamma [/tex] vaut [tex]0.5^3=0.125[/tex] !
L'erreur est donc sans doute dans ce que j'ai lu. Cependant, ça me semble être une piste possible, aussi je vous la soumets en attendant d'y voir plus clair.
Joli problème !
- nerosson
- 17-11-2012 18:38:18
Salut à tous,
Nérosson étant interpelé, il se trouve dans l'obligation de dire quelque chose.
Quand on ne sait pas faire un travail, on peut toujours critiquer celui des autres :
@JPP
1) Tu fais intervenir dans ta proposition le souci du fils d'éviter de se retrouver propriétaire de trois parcelles distinctes. C'est un élément qui ne figure pas dans l'énoncé,
2) Parler de fair play en mathématiques, c'est comme parler d'amour dans la maison d'un eunuque !
Si j'étais le chevalier, dans l'ignorance de ce que fera le fils, je planterais moi aussi mon premier pieu au milieu d'un côté. Mais lequel ? Le plus grand, le plus petit, ou l'autre ? C'est une question que personne ne semble avoir envisagée. D'autre part, la forme du triangle peut-elle avoir une influence sur la solution du problème ?
Si je ne peux vous dire exactement ce que le fils doit faire, ma contribution consistera à dire ce qu'il ne doit pas faire :
&) Si , dans le triangle ABC, le chevalier a planté un piquet au milieu de BC, le fils ne doit pas planter un piquet tout près de B, ni tout près de C, car le chevalier, en plantant son second piquet tout près de A, s'attribuera une surface très voisine de la moitié,
Le fils ne doit pas non plus planter son piquet tout près de A, car le chevalier placera son second piquet tout près de B ou de C, et se retrouvera avec la même parcelle que dans l'hypothèse précédente.
Si le fils plante son pieu au milieu d'un côté, alors, c'est là que je me demande si la forme du triangle d'origine n'a pas une importance dans le choix de la solution.
- totomm
- 17-11-2012 12:03:34
Re,
Mieux vaut peut-être attendre les arguments habituellement percutants de nerosson avant de commenter,
mais on peut douter que la tentative des [tex]\frac{3}{8}[/tex] réussisse auprès du fils.
Et pour des lecteurs éventuels de cette rubrique il serait bon de justifier les choix conseillés par les mathématiciens..., même et surtout s'ils sont bons.
A+ Cordialement
- jpp
- 17-11-2012 11:32:16
salut.
- totomm
- 17-11-2012 09:34:07
Bonjour,
Au cours d'une bataille difficile un chevalier sans terre sauve la vie de son suzerain.
Pour le récompenser le suzerain décide de lui offrir une partie d'un immense domaine triangulaire. Il te suffit, lui dit-il, de poser un pieu sur un des cotés, mon fils aîné posera alors un pieu sur un deuxième coté et ensuite tu poseras un troisième pieu sur le dernier coté : Le domaine entre les trois pieux sera à toi.
Le chevalier sans terre veut acquérir le domaine le plus grand possible, mais le fils aîné va chercher à rendre ce domaine donné le plus petit possible.
Chacun s'en va donc consulter les plus grands mathématiciens de l'époque. Quelle a été leur solution pour satisfaire au mieux chacun ?