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Pour cela, considérons les événements suivants :
* [tex]N[/tex] est l'événement "La direction est Nord";
* [tex]S[/tex] est l'événement "La direction est Sud"; [tex]S[/tex] n'est rien d'autre que l'événement [tex]\bar N[/tex];
* [tex]A[/tex] est l'événement "le quidam répond Nord, Nord, Nord, Nord, Sud";
* [tex]B[/tex] est l'événement "le quidam répond Nord, Nord, Nord, Nord, Nord";
* [tex]M[/tex] est l'événement "Le quidam est un menteur systématique".

Notons aussi [tex]P(E|F)[/tex], ou parfois [tex]P_F(E)[/tex] la probabilité conditionnelle de [tex]E[/tex] sachant que [tex]F[/tex] est réalisé. Ce que l'on souhaite démontrer, c'est que
$$|P(N|A)-P(S|A)|\geq |P(N|B)-P(S|B)|.$$
On sépare les deux cas :

1. L'événement [tex]A[/tex] est réalisé. On cherche à calculer la probabilité
conditionnelle de [tex]N[/tex] sachant [tex]A[/tex], c'est-à-dire [tex]P(N|A)[/tex]. Ce que l'on connait très bien, c'est [tex]P(A|N)[/tex]. En
effet, on sait dans ce cas que le quidam n'est pas un menteur systématique. La probabilité
qu'il ait donné les réponses successives correspondant à [tex]A[/tex] vaut donc
$$P(A|N)=\left(\frac 34\right)^4\times\frac 14.$$
On retrouve [tex]P(N|A)[/tex] en utilisant la formule de Bayes :
$$P(N|A)=\frac{P(A|N)P(N)}{P(A|N)P(N)+P(A|\bar N)P(\bar N)}.$$
On sait calculer toutes les probabilités qui sont invoquées, car [tex]P(N)=1/2[/tex] et
$$P(A|\bar N)=\left(\frac 14\right)^4\times\frac 34.$$
Finalement, on trouve, arrondi à deux décimales :
$$P(N|A)\simeq 0,96\implies |P(N|A)-P(S|A)|\simeq 0,92.$$

2. L'événement [tex]B[/tex] est réalisé. On souhaite calculer [tex]P(N|B)[/tex]. C'est délicat de le faire
directement, et on va calculer d'abord
$$\begin{array}{rcl}
P(B|N)&=&P_N(B)=P_N(B\cap M)+P_N(B\cap \bar M)\\
&=&\frac 12 P(B\cap M\cap N)+\frac 12 P(B\cap \bar M\cap N).
\end{array}$$
L'événement [tex]B\cap M\cap N[/tex] est impossible, il reste à calculer
$$P(B\cap \bar M\cap N)=P_{\bar M}(B\cap N)P(\bar M)=\frac{P_{\bar M}(B|N)}{P_{\bar M}(N)}P(\bar M).$$
Or, [tex]P(\bar M)=2/3[/tex], [tex]P_{\bar M}(N)=1/2[/tex] (car [tex]N[/tex] est indépendant de [tex]M[/tex]), et
$$P_{\bar M}(B|N)=\left(\frac 34\right)^5.$$
On trouve donc
$$P(B|N)=\frac 23\left(\frac 34\right)^5.$$</p>

On fait le même calcul avec [tex]\bar N[/tex] au lieu de [tex]N[/tex], et on obtient
$$\begin{array}{rcl}
P(B|\bar N)&=&P_{\bar N}(B)=P_{\bar N}(B\cap M)+P_{\bar N}(B\cap \bar M)\\
&=&\frac 12 P(B\cap M\cap \bar N)+\frac 12 P(B\cap \bar M\cap \bar N).
\end{array}$$
L'événement [tex]B\cap M\cap \bar N[/tex] est inclus dans [tex]M\cap\bar N[/tex], qui est lui-même de probabilité
[tex]\frac 13\times\frac12=\frac 16[/tex] (car les événements [tex]M[/tex] et [tex]\bar N[/tex] sont indépendants). Il reste à calculer
$$P(B\cap \bar M\cap \bar N)=P_{\bar M}(B\cap \bar N)P(\bar M)=\frac{P_{\bar M}(B|\bar N)}{P_{\bar M}(\bar N)}P(\bar M).$$
Or, [tex]P(\bar M)=2/3[/tex], [tex]P_{\bar M}(\bar N)=1/2[/tex], et
$$P_{\bar M}(B|\bar N)=\left(\frac 14\right)^5.$$
On trouve donc
$$P(B|\bar N)=\frac 23\left(\frac 14\right)^5+\frac 1{12}.$$
On en déduit [tex]P(N|B)[/tex] par la formule de Bayes :
$$P(N|B)=\frac{P(B|N)P(N)}{P(B|N)P(N)+P(B|\bar N)P(\bar N)}.$$
Une valeur approchée à deux décimales est :
$$P(N|B)\simeq 0,65\implies |P(N|B)-P(S|B)|\simeq 0,31.$$

si oui, alors moi aussi

SUD  parce , entendre 5 fois de suite la meme réponse n'implique pas que le quidam soit un menteur permanent.  Alors qu'avoir des réponses différentes ( 4 fois nord et 1 fois sud ) va faire prendre la direction nord aux
touristes puisque le quidam ment une fois sur quatre. car rien ne l'empèche de mentir 10 fois de suite ou d'etre franc 10 fois de suite,  si sur une fréquence f , il a menti seulement f/4 fois .