Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

L'idée  est de  partir   du  fait  que  dans [tex]{\mathbb C}[X][/tex] tout polynôme non nul est scindé  et  d'écrire  le  polynôme   caractéristique de l'endomorphisme   f  en  question  sous  la  forme : [tex]\chi_f = \prod_{k=1}^s(\lambda_s-X)^{m_k}[/tex]  où [tex]s[/tex] est le  cardinal du spectre de [tex]f[/tex]  et  pour [tex]1 \leq k \leq s[/tex], on désigne  par [tex]m_k[/tex] la  multiplicité  de [tex]\lambda_k[/tex].
Ceci fait, l'utilisation du lemme de décomposition des  noyaux et le théorème de Cayley-Hamilton fournit : [tex] E=\oplus_{k=1}^s E_k[/tex]  où  [tex]E_k = \ker (f-\lambda_k \text{Id}_E)^{m_k}[/tex].
Le cours te  permet de dire  que  les [tex]E_k[/tex] sont stables par [tex]f[/tex]
Ceci  a  pour  conséquence de simplifier  le  problème : à  savoir  se  ramenr  à  un  endomorphisme  qui  a  une  unique  valeur  propre [tex]\lambda[/tex] de  multiplicité [tex]m[/tex]  où  [tex]m[/tex]  est  la  dimension de l'espace  vectoriel [tex]E[/tex].
On  remarque  dans  ce  cas  que [tex]f = u + \lambda \text{Id}_E[/tex] où  [tex]u[/tex] est  un  endomorphisme  nilpotent.
Je te laisse le soin de chercher ce qui concerne les endomorphismes nilpotents ( voir des livres de cours de spé M*)

Salut,

Tu as un cours de mathématiques sur le sujet ? Si oui, relis-le. Si tu n'en as pas, ou qu'il est absolument incompréhensible, alors, je chercherai si j'en trouve un sur le web.

A+