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Re,
Comment définis-tu la notion de "suite convergente" alors ?
Convergente dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] ?  => ça n'apporte rien, on reste dans  [tex]\mathbb{Q}[/tex]
Convergente dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ?  => mais on n'a pas encore défini [tex]\mathbb{R}[/tex] !
Vois-tu ?
++

Hello,
of course.
On peut définir [tex]\mathbb{R}[/tex] comme le complété de [tex]\mathbb{Q}[/tex], c'est à dire en ajoutant à  [tex]\mathbb{Q}[/tex] les limites de suites de cauchy à valeurs dans [tex]\mathbb{Q}[/tex].

Plus formellement, on définit [tex]\mathbb{R}[/tex] comme le quotient [tex]\mathcal{C}/\sim[/tex] où
  * [tex]\mathcal{C} = \{(u_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} / \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+,\;\exists N \in \mathbb{N},\;\forall n,m > N,\;|u_n - u_m| < \varepsilon\}[/tex] des suites de Cauchy à valeur dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]
* [tex]\sim[/tex] la relation d'équivalence (le vérifier), définie sur [tex]\mathbb{Q}[/tex] par [tex](u_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\;\Leftrightarrow\; \lim_{n\rightarrow +\infty}|u_n - v_n| = 0[/tex]

Ainsi [tex]\mathbb{R}[/tex] est l'ensemble des "suites de cauchy où l'on identifie deux suites de Cauchy ayant la même limite", ce qui revient à dire informellement que c'est l'ensemble des limites de suites de Cauchy à valeur dans  [tex]\mathbb{Q}[/tex]...

Ensuite on vérifie qu'on peut effectivement injecter [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathcal{C}/\sim[/tex], par le procédé suivant :
Si on appelle [tex]\tilde{u}[/tex] la classe d'équivalence de la suite de Cauchy [tex]u \in\mathcal{C}[/tex],
il suffit de définir l'injection [tex]i\;:\;\mathbb{Q} \rightarrow \left(\mathcal{C}/\sim\right)[/tex] par [tex]i(q) = \tilde{(q)}[/tex]
(où [tex](q)[/tex] est la suite constante prenant toujours la valeur [tex]q[/tex]).

On définit aussi naturellement la somme et la multiplication, le fait d'être "positif" (une suite de cauchy sera "strictement positive" si ses termes sont strictement superieurs à un rationnel fixé, à partir d'un certain rang, et le contraire est bien "être négatif ou nul" (ce qui est non trivial !)) : ceci qui crée une relation d'ordre totale sur notre nouvel ensemble.
On peut alors vérifier que notre nouvel ensemble est bien complet (Attention : non trivial aussi, il faut remplacer [tex]\mathbb{Q}[/tex] par [tex]\mathbb{R}[/tex] dans la définition des suites de Cauchy !)
On vérifie alors qu'on a toutes les propriétés usuelles de [tex]\mathbb{R}[/tex], y compris l'axiome de la borne supérieure.

Je vais me risquer :
Démonstration (théorème de la borne supérieure) :
Soit [tex]A[/tex] une partie non vide et majorée de [tex]\mathbb{R}[/tex]. On va montrer qu'il admet un sup.
C'est à dire qu'il existe [tex]s\in \mathbb{R}[/tex] majorant de [tex]A[/tex] tel, que [tex]\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+,\;[s-\varepsilon;s]\cap A \neq \empty[/tex]

Construisons la suite des [tex]u_n \in A[/tex] de la manière suivante par récurrence :
* On choisit [tex]u_1\in A[/tex] tel que [tex]u_1+1[/tex] majore A. (Si on suppose qu'un tel élément n'existe pas, on peut construire une suite tendant vers l'infini d'élements ne majorant pas A, ce qui contredit le fait que A est majoré).
* On a construit la suite jusqu'au rang n-1. On prend [tex]u_n\in A\cap [u_{n-1};+\infty[[/tex] tel que [tex]u_n+\frac{1}{n}[/tex] majore A. (même argument que pour n=1).
Soient n et m deux entiers, on a donc [tex]u_n \leq u_m + \frac{1}{m}[/tex] et [tex]u_m \leq u_n + \frac{1}{n}[/tex].
Donc [tex]|u_n - u_m| \leq \max(\frac{1}{n},\frac{1}{m})[/tex]. On en tire que [tex](u_n)[/tex] est de Cauchy, donc converge vers un [tex]s \in \mathbb{R}[/tex].
Cette suite est de plus croissante.

Ce [tex]s[/tex] vérifie trivialement la propriété de la borne supérieure : en effet, étant donné [tex]\varepsilon > 0[/tex], il suffit de prendre un [tex]n[/tex] tel que [tex]\frac{1}{n} \leq \varepsilon[/tex] pour qu'on ait [tex]u_n \in [s-\varepsilon;s]\cap A[/tex] (croissance + pté de constuction de [tex]u_n[/tex])

Q.E.D

Il peut y avoir des imprécisions dans ce que je dis, mais sur le principe c'est ça.

++