Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Le problème s'explique bien avec le vocabulaire statistique :
On tire une pièce $n$ fois et on note $p$ la proba que cette pièce tombe sur face.
On note $H_0 : p=\frac{1}{2}$ c'est l'hypothèse nulle. On note $H_1 := p\neq \frac{1}{2}$ c'est l'hypothèse alternative. Nous on observe $n$ lancers, et on note $\hat{p}_n = \frac{1}{n}\sum_i{X_i}$ où $X_i$ vaut le résultat du $i$ème lancer ($1$ si c'est face et $0$ sinon).
A priori $\hat{p}_n$ doit ressembler au vrai $p$ selon lequel on a tiré les $X_i$ (du moins lorsque $n$ est grand).

Autrement dit si $\varepsilon>0$ on doit avoir (par exemple avec Bienaymé-Tchebychev)
$$\mathbb{P}_{1/2}(|\hat{p}_n-\frac{1}{2}|>\varepsilon) \xrightarrow[n\to \infty]{} 0.$$
où $\mathbb{P}_{1/2}$ est la proba sous $H_0$ c'est à dire $\textbf{en supposant qu'on ait } p=1/2.$

Tout ce qui précède permet donc de répondre à la question : si $H_0$ est vraie alors quelle est la proba d'obtenir ce que j'ai observé.
Ce n'est pas la même chose que de dire : voici ce que j'ai observé, quelle est donc la proba que $H_0$ soit vraie ?

Déjà car la deuxième question sous-entend que le $p$ selon lequel on tire au hasard est lui même choisi selon une certaine mesure aléatoire. Et ensuite si c'est le cas on peut alors, en appliquant la formule de Bayes, trouver :
$$\mathbb{P}(H_0 | \text{observations}) = \mathbb{P}(\text{observations} | H_0)\mathbb{P}(H_0)/\mathbb{P}(\text{observations}).$$
Le problème c'est qu'il faut alors un modèle pour calculer $\mathbb{P}(H_0)$ c'est à dire avec quelle proba est-ce qu'on nous donne bien $p=1/2$ (sans avoir d'informations sur des lancers) et aussi pour calculer $\mathbb{P}(\text{observations})$ qui nous demande aussi d'avoir de l'information sur comment est-ce que $p$ est tiré au hasard.

Ceci est en lien avec les stats Bayésiennes (on se donne une loi a priori sur $p$ et on trouve la loi a postériori sur $p$ sachant les observations effectuées.

À titre d'exemple voici un petit exo :
Avec proba 9/10 je te donne une pièce équilibré, et avec proba 1/10 je te donne une pièce qui fait pile avec proba 2/3.
Tu lances $6$ fois la pièce et tu observes 4 fois pile et 2 fois face (je ne sais plus dans quel ordre), sachant cela, quelle est la proba d'avoir la pièce équilibré ?

Bonne journée

Bonjour,

  C'est une très bonne question et j'ai été un peu imprudent en écrivant ceci. Je vais réfléchir à cela et refaire la vidéo.

F.