Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

Pour mes 215 ans je me suis offert l'octangle étoilé sous forme d'équations de losanges pliés !

Les explications pour bientôt ...

Bernard-maths

Hum, ça traine un peu ...

Bonsoir !

J'ai le même, en plus petit !

B-m

Suite ...

On obtient l'équation : ((((abs(x) - x0)*sa - (abs(y) - y0)*ca)*si + (abs(z) - z0)*ci)*cp + ((abs(x) - x0)*ca + (abs(y) - y0)*sa)*sp)*co - abs(((-(abs(x) - x0)*sa + (abs(y) - y0)*ca)*si - (abs(z) - z0)*ci)*sp + ((abs(x) - x0)*ca + (abs(y) - y0)*sa)*cp)*so = 0

qui donne la 1ère figure : 2 chapeaux carrés. Le haut est le résultat des symétries en x et en y, le bas avec la symétrie en z.

Il manque les parties verticales ... on les obtient en faisant une permutation circulaire sur x -> y -> z -> x, une fois puis deux.
On a les 2 figures suivantes, la dernière est l'application de la fonction max à ces 3 équations ! LA STELLATION !

L'équation max est : max(((((abs(x)-x0)*sa-(abs(y)-y0)*ca)*si+(abs(z)-z0)*ci)*cp+((abs(x)-x0)*ca+(abs(y)-y0)*sa)*sp)*co-abs(((-(abs(x)-x0)*sa+(abs(y)-y0)*ca)*si-(abs(z)-z0)*ci)*sp+((abs(x)-x0)*ca+(abs(y)-y0)*sa)*cp)*so,((((abs(y)-x0)*sa-(abs(z)-y0)*ca)*si+(abs(x)-z0)*ci)*cp+((abs(y)-x0)*ca+(abs(z)-y0)*sa)*sp)*co-abs(((-(abs(y)-x0)*sa+(abs(z)-y0)*ca)*si-(abs(x)-z0)*ci)*sp+((abs(y)-x0)*ca+(abs(z)-y0)*sa)*cp)*so,((((abs(z)-x0)*sa-(abs(x)-y0)*ca)*si+(abs(y)-z0)*ci)*cp+((abs(z)-x0)*ca+(abs(x)-y0)*sa)*sp)*co-abs(((-(abs(z)-x0)*sa+(abs(x)-y0)*ca)*si-(abs(y)-z0)*ci)*sp+((abs(z)-x0)*ca+(abs(x)-y0)*sa)*cp)*so)=0,

Les variables étant : a := 5;ouv := 125.26;piv := 27.37;azi := 0;x0 := a;y0 := 0;z0 := a;alpha := (180 - ouv)/360*Pi;co := cos(alpha);so := sin(alpha);cp := cos(piv/180*Pi);sp := sin(piv/180*Pi);ci := cos(inc/180*Pi);si := sin(inc/180*Pi);ca := cos(rot/180*Pi);sa := sin(rot/180*Pi)

à suivre, B-m

Bonjour à tous !

Voyons voir le cuboctaèdre ... que voici, avec sa stellation :

Voir sur Mathcurve ... Pour la stellation, il faut prolonger les faces carrées d'une part, en rouge, ce qui donne le cube rose, et les faces vertes, d'autre part, ce qui donne l'octaèdre vert clair. La stellation est alors la réunion des 8 pyramides roses (coins du cube, à base triangulaire équilatérale), et des 6 pyramides verts clairs, à base carrée !

Il faut alors calculer les bons angles des plans pliés, d'où la figure suivante :

On a ajouté 2 pyramides au cuboctaèdre, on peut ainsi mesurer γ = 125.26° qui est l'angle d'ouverture "ouv", opposé à l'angle dièdre "carré-triangle". Puis δ qui en est la moitié, et ε = 90° - δ, qui est l'angle de pivotement "piv", qui va permettre de positionner le plan plié !

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Voilà un bon moment que je n'ai rien dit, mais j'ai bien travaillé, et obtenu des résultats sympathiques !

Pour commencer on peut simplement modifier l'angle d'ouverture, que je note "ouv". Il a été fixé à ouv = α = 109°,47111 pour obtenir l'octangle étoilé. Mais si on le fait varier on obtient un autre polyèdre ...
Si l'angle d'ouverture diminue, ouv < α, cela augmente les pointes, on a un étoilement plus prononcé ...
Si on l'augmente ouv > α, l'étoilement diminue ...

Un cap intéressant est ouv = 180°, les faces adjacentes sont alors coplanaires, on a deux fois moins de faces, donc 24 / 2 = 12, et on obtient un dodécaèdre ... rhombique ici !

Un autre cap est ouv = 360° - α, les demis plans des plans pliés sont alors coplanaires aux faces de l'octaèdre de départ, on obtient l'octaèdre lui-même !

Et puis si ouv tend vers 360°, les demis plans se coupent de façon complexe, on obtient de résultats étranges ...

Voici quelques figures :

L'octangle, ouv = 109°...                           étoilement, ouv = 85°                            aplatissement, ouv = 150°

L'octaèdre, ouv = 360° - 109°...                 avec ouv = 300°                                    avec min et ouv = 300°

Dodécaèdre rhombique , ouv = 180°       dodécaèdre : ouv = 180° ET inc = 45° !          côté artistique ?     

Bernard-maths

Bonjour à tous !

J'arrive, j'arrive, trop occupé ces jours ci, pas le temps de rédiger, et pourtant c'est fini ...

Comment mettre en équation ce plan plié ? Prenons la figure suivante :

Dans le plan (xOy), y = |x| est l'équation d'un droite pliée à 90°. Pour obtenir un autre angle d'ouverture, on multiplie par tan de (90° - angle sur 2), comme pour la suite c'est un angle α = 109.47111° qui est concerné, on a tan(90°- α/2).

On fait de même en 3D, mais on part ici sur un pli sur l'axe (x'x), donc les équations sont : z = abs(x) et z = abs(x)*tan(35.264445/180*Pi).

Ensuite, il faut incliner de 45°, translater , on a le cube entaillé des 2 triangles.

Puis dupliquer par symétries, enfin dupliquer par permutations circulaires.

Il faut tracer ... 3 façons de résultats ... le dernier est le BON.

On a un résultat brut des 12 plans pliés, sans limite. On peut limiter l'affichage aux dimensions du cube de départ, on ne voit que la partie contenant l'octangle.

Pour ne garder que l'octangle, il faut utiliser la fonction max ... en effet les équations des plans pliés partagent l'espace en 2 zones, du côté de O, et de l'autre côté. Or du côté de O on a des fonctions < 0, donc en partant de O, on remonte dans des zones < 0 vers des surfaces = 0 ... et on s'y arête.

Voilà, j'apporterai des ajoûts pour compléter certains points, posez vos questions !

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Origami ! J'ai essayé avec des feuilles 80g, ç'est mou, ça ne tient pas bien, vu la taille de l'objet !

Je recommence doucement avec du 120g ... 36 modules à 4 min chacun, c'est 3h de pliage !

J'y reviendrai quand ce sera fini.

B-m