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bridgslam · 02-01-2025 10:38:32

Bonjour,

Disons que j'ai eu du cambouis jusqu'aux poignets, pas jusqu' aux coudes ni encore moins aux épaules.
Et j'ai épargné le lavage de la salopette ...
La condition directe avec le sin étant obtenue sans calcul ( en regardant le cercle contenant M,H,K,A cocycliques , et l'angle au centre ) , il m'a semblé intéressant d'explorer cette voie sans préconnaissance du résultat, qui reviendrait à se baser sur du travail prémâché.
J'indique juste par la suite que la voie reste ouverte depuis cette question B, et n'ayant pas la science infuse, j'ai pu louper quelque chose dans mes calculs à la main qui n'ont pas abouti.
Par ailleurs pour une rubrique de niveau non universitaire, il est peut-être opportun, même si la construction le mets facilement sous les yeux, de préciser pour les étudiants moins rompus que toi à la géométrie, la propriété adéquate vérifiée que pour I avec : Thalès, angles opposés et correspondants, triangles isocèles dans chaque cercle, propriété des bissectrices intérieure et extérieures...
Quant à Morley inscrit, ou au code développé, je ne suis pas certain que ce soit très parlant pour des collégiens.
Avis tout personnel bien-sûr.

A.

cailloux · 01-01-2025 19:01:57

Bonsoir bridgslam et bonne année.
Je suis d'accord avec ce que tu écris avec quelques réserves :
Je n'ai absolument rien contre les calculs aussi compliqués qu'ils soient.

... choisir un repère affine simplement dépendant des 3 points donnés, qui laisse quand-même pas mal d'options.

Par exemple du calcul barycentrique. En toutes circonstances, le grand mérite de ces calculs est d'aboutir à un résultat correct (ce qu'a fait Rescassol plus haut).
Pour l'instant, tu te limites à un genre de "yakafokon".
Il arrive un moment où il faut mettre les mains dans le cambouis !

bridgslam · 01-01-2025 11:45:34

cailloux a écrit :

Entre autres, j'étais parvenu rapidement à ce qu'a écrit bridgslam (où il faudrait préciser la notion d'angle) :
cela revient à trouver le lieu des points M tels que AM sin (MB,MC) soit maximum.
Et ensuite ?
La conjecture quant au résultat incite à passer en polaires avec $AM=r$ et $(\overrightarrow{AI_A},\overrightarrow{AM})=\theta$

Bonjour,

Selon moi, je doute fort que si le sujet est exprimé en ces termes, et rien d'autre, énoncé qui se suffit à lui-même, on fasse par un idée de génie intervenir le point I dont on parle suite à une formulation géométrique externe dont on n'a pas vent a priori.
Dès lors la tendance est sans doute ( à moins d'une vision géométrique profonde qui je l'avoue m'échapperait ici totalement) de choisir un repère affine simplement dépendant des 3 points donnés, qui laisse quand-même pas mal d'options.
On peut peut-être voir aussi les choses sous l'angle d'un produit vectoriel ( quitte à plonger dans l'espace 3d transitoirement).
Pour résumer, si un problème A est ramené en un problème B qui se présente sous des aspects a priori absolument différents, je pense qu'il est normal d'oublier totalement le A.
Cela n'empêchera pas en seconde étape d'apprécier la beauté de la convergence des deux points de vue (voire, encore mieux d'en trouver la raison ).

A.

cailloux · 30-12-2024 21:54:52

Bonsoir Doremepha,
Tout d'abord, désolé d'avoir écorché ton pseudo. C'est d'ordinaire le genre de chose à laquelle j'attache une importance particulière. Là, j'étais à l'ouest ...
Ensuite, merci pour ce dernier retour : sur tous ces forum de matheux, ils se font de plus en plus rares; on y est très sensible.
En parlant de retours, je réitère ma demande : si tu as un jour des nouvelles de "ton" élève (via son professeur) sur ce sujet, je te serais très reconnaissant de nous en faire part ici même ...
Dans l'urgence j'ai remercié plus haut Rescassol pour sa solution (sans nul doute correcte) sans avoir lu un traître mot de son code.
Je vais m'employer maintenant à le "décoder". Étant un piètre calculateur, ce n'est pas gagné mais j'ai bon espoir ...
Bonne année à tous !
[Edit] totalement hors sujet : je me fais plaisir.

Borassus a écrit :

...de façon à ne pas être mené en bateau.

Étant passionné par la voile, je suis de très près les péripéties des concurrents du Vendée globe 2024.
Être "mené en bateau" me va très bien !

Doremepha · 30-12-2024 20:40:46

cailloux a écrit :

Bonne nuit Borassus,
Au vu de ta question, je suppose que l'IA a été capable de faire des conjectures (ce qui n'est pas si mal) mais a été incapable de les prouver.
Ce problème est posé à une classe de Première option maths. Selon le prof, il doit être résolu en utilisant le produit scalaire.
C'est une interprétation avec laquelle je ne suis pas d'accord; à une de mes questions Doromepha a répondu :
Un élève de première spé maths (de mon entourage) m'a partagé ce problème, précisant qu'il s'agissait d'un travail de groupe à réaliser pendant le temps libre, après le chapitre sur le produit scalaire.
Supposer que la solution attendue doit faire appel au produit scalaire n'est que spéculation hasardeuse.
Avec un peu d'avance, meilleurs vœux pour 2025 !

Hello,
Tu as raison, ce n'est pas forcément lié au produit scalaire.
Meilleurs vœux à toi aussi, ainsi qu'à tous les membres, pour cette nouvelle année

Borassus · 29-12-2024 22:53:16

Effectivement, la nuance est importante : « après le chapitre sur le produit scalaire » ne signifie pas « en guise d'application du produit scalaire ».

Meilleurs vœux en retour, avec une corne d'abondance remplie d'échanges passionnants !

cailloux · 29-12-2024 22:43:57

Bonne nuit Borassus,
Au vu de ta question, je suppose que l'IA a été capable de faire des conjectures (ce qui n'est pas si mal) mais a été incapable de les prouver.

Ce problème est posé à une classe de Première option maths. Selon le prof, il doit être résolu en utilisant le produit scalaire.

C'est une interprétation avec laquelle je ne suis pas d'accord; à une de mes questions Doromepha a répondu :

Un élève de première spé maths (de mon entourage) m'a partagé ce problème, précisant qu'il s'agissait d'un travail de groupe à réaliser pendant le temps libre, après le chapitre sur le produit scalaire.

Supposer que la solution attendue doit faire appel au produit scalaire n'est que spéculation hasardeuse.
Avec un peu d'avance, meilleurs vœux pour 2025 !

Borassus · 29-12-2024 22:18:39

Rebonsoir Cailloux,

Combien tu confirmes mes froncements de sourcils immédiats en lisant rapidement les réponses : je percevais que quelque chose dans le raisonnement cloche sur le fond.

J'ai effectivement tiqué sur le passage que tu mentionnes.
Rétrospectivement, je me rends compte que la conclusion est du même ordre de celle de Sganarelle dans le Médecin malgré lui lorsqu'il enfume Géronte par son discours pseudo-savant (acte II, scène 4) : « Voilà justement ce qui fait que votre fille est muette. ».

Pour répondre à ta question, contrairement aux deuxième et troisième questions, je ne pense pas avoir orienté la réponse.
Voici ma question :
« On considère un triangle ABC quelconque et un point M distinct de ces trois sommets.
On construit les projetés orthogonaux H et K de A respectivement sur la droite (MB) et sur la droite (MC).
Où faut-il placer le point M pour que la distance HK soit maximale ?

Important : Ce problème est posé à une classe de Première option maths. Selon le prof, il doit être résolu en utilisant le produit scalaire. »

cailloux · 29-12-2024 21:03:07

Bonsoir Borassus,
Dans un premier temps je ne voulais pas tirer sur l'ambulance artificielle.
Mais il y a le passage 4. de son premier message particulièrement édifiant/amusant :

4. **Position optimale de $M$ :**
- Pour que la distance $HK$ soit maximale, $M $doit être placé de manière à ce que les angles formés par $\overrightarrow{MA}$ avec $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MC}$ soient égaux.

qui est archi faux ! Et la suite :

- Cela signifie que $M$ doit être sur la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$.

qui est (très relativement) juste !
Mon sentiment : l'IA sait à quel résultat elle doit parvenir. Quelle question as-tu posée à ton IA ?
En conséquence, elle tente de l'obtenir coûte que coûte aux forceps contre toute logique.
Peut-on qualifier une IA de "malhonnête" ? Vaste question quasiment hors sujet ...

Borassus · 29-12-2024 19:28:56

Bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

$AH = \left| \overrightarrow{MA} \cdot \frac{\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MB}|} \right|$
Ce n'est pas $AH$ mais $MH = \left| \overrightarrow{MA} \cdot \frac{\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MB}|} \right|$

J'ai recopié sans véritablement comprendre car je devais partir faire des courses.

J'ai effectivement froncé les sourcils : comment peut-on déterminer AH, alors que le produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ ne dépend absolument pas de la distance AH ?
(J'ai à mon retour demandé d'expliquer. Les explications fournies n'expliquent en fait rien.)

Les voies pédagogiques que je mentionnais passent donc nécessairement par savoir impérativement distinguer le vrai du faux, de façon à ne pas être mené en bateau. Ce qui est en réalité une excellente formation !

Bonne soirée.

PS : Je pense qu'il doit y avoir une vraie solution via le produit scalaire. Mais elle ne se laisse pas facilement appréhender.

cailloux · 29-12-2024 18:41:14

Bonjour à tous,
Sans surprise, Rescassol nous a proposé une solution via Morley inscrit : merci à lui.
Venons-en à l'IA contre laquelle je n'ai pas d'à priori; ça commence très mal :

Mistral AI a écrit :

- La distance $ AH $ peut être trouvée en utilisant la projection de $ \overrightarrow{MA} $ sur $ \overrightarrow{MB} $:
\[
AH = \left| \overrightarrow{MA} \cdot \frac{\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MB}|} \right|
\]

Ce n'est pas $AH$ mais $MH = \left| \overrightarrow{MA} \cdot \frac{\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MB}|} \right|$

Mistral AI a écrit :

3. **Calculer la distance $ HK $ :**
- La distance $ HK $ est la distance entre les points $ H $ et $ K $, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissés de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ respectivement.
- Pour maximiser $ HK $, nous devons maximiser la différence entre les projections de $ \overrightarrow{MA} $ sur $ \overrightarrow{MB} $ et $ \overrightarrow{MC} $.
4. **Position optimale de $ M $ :**
- Pour que la distance $ HK $ soit maximale, $ M $ doit être placé de manière à ce que les angles formés par $ \overrightarrow{MA} $ avec $ \overrightarrow{MB} $ et $ \overrightarrow{MC} $ soient égaux.
- Cela signifie que $ M $ doit être sur la bissectrice de l'angle $ \widehat{BAC} $.

Là, je ne comprends plus rien. J'aimerais qu'on m'explique.
Je n'ai pas été plus loin mais j'ai la nette impression que cette IA nous mène en bateau ...

Rescassol · 29-12-2024 17:18:06

Bonjour,

Et voilà un zeste de Morley inscrit:

% Doremepha - 26 Décembre 2024 - Optimisation avec le produit scalaire

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW du cercle inscrit

syms u v w

uB=1/u; vB=1/v; wB=1/w; % Morley's trick avec le cercle inscrit

% Le suffixe B veut dire conjugué

s1=u+v+w; s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; % Fonctions symétriques

s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3; % Conjugués

a=2*v*w/(v+w); b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); % Sommets ABC du triangle 

aB=2*vB*wB/(vB+wB); bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB);  % Conjugués

%-----------------------------------------------------------------------

syms m mB

% Centres Ja, Jb, Jc des cercles exinscrits

ja=4*s3/((u+v)*(u+w)); jaB=4*s3B/((uB+vB)*(uB+wB));

jb=4*s3/((v+w)*(v+u)); jbB=4*s3B/((vB+wB)*(vB+uB)); 

jc=4*s3/((w+u)*(w+v)); jcB=4*s3B/((wB+uB)*(wB+vB)); 

[h hB]=ProjectionPointDroite(a,m,b,aB,mB,bB); % Point H

[k kB]=ProjectionPointDroite(a,m,c,aB,mB,cB); % Point K

HK2=Factor((h-k)*(hB-kB)) % HK^2

f(m,mB)=HK2;

F=-(v-w)^2*((v+w)*mB-2)*(m-mB*u^2-2);

FB=-(v-w)^2*((v+w)*m-2*v*w)*(m+mB*u^2-2*u);

D=numden(Factor(diff(HK2,m)/F));

DB=numden(Factor(diff(HK2,mB)/FB));

Eq=Factor(resultant(D,DB,mB))

X=m*(m-b)^2*(m-c)^2*(m-ja)*(m-jb)*(m-jc);

Cte=Factor(Eq/X)

% On trouve Cte=-4*u^2*(u+v)^4*(u+w)^4*(v+w)^3*(u-v)*(u-w)

% Cte ne dépend pas de m

% Les solutions de l'équation Eq=0 sont b et c (solutions doubles)

% et ja, jb, jc les centres des cercles exinscrits

% f(a,aB)=f(b,bB)=f(c,cB)=0

% f(jb,jbB)=-(u-v)^2/(u+v)^2

% f(jc,jcB)=-(u-w)^2/(u+w)^2

H0K02=Factor(f(ja,jaB)) % H0K02=-((u-v)*(u-w)*(v-w)/((u+v)*(u+w)*(v+w)))^2

% D'autre part BC=2*i*w*(u-v)/((u+w)*(v+w)) et permutation circulaire

% On peut donc vérifier que H0K0=(BC+CA+AB)/2:

BC=2*i*w*(u-v)/((u+w)*(v+w));

[CA AB]=PermCirc(BC,u,v,w);

Y=(BC+CA+AB)/2;

Nul=Factor(Y^2-H0K02) % Nul=0

Cordialement,
Rescassol

Borassus · 29-12-2024 17:14:03

Avec de tels outils, l'exercice consistera en fait à bien comprendre la solution proposée, et à savoir la redémontrer par soi-même.
Cela ouvre des voies pédagogiques passionnantes...

Borassus · 29-12-2024 17:10:57

J'ai continué par la question suivante :
« Comment alors démontrer que la longueur HK est égale au demi-périmètre du triangle ABC ? »

Voici la réponse :

Mistral AI a écrit :

Pour démontrer que la longueur $ HK $ est égale au demi-périmètre du triangle $ ABC $ lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $, nous devons utiliser les propriétés géométriques du cercle exinscrit et des projections orthogonales.
### Étapes de la démonstration :
1. **Définir le cercle exinscrit et ses propriétés :**
- Le cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $ est tangent à la droite $ (BC) $ et aux prolongements des côtés $ (AB) $ et $ (AC) $.
- Le centre de ce cercle est le point où les bissectrices extérieures des angles $ \widehat{B} $ et $ \widehat{C} $ se rencontrent.
- Ce point est également sur la bissectrice de l'angle $ \widehat{A} $.
2. **Projections orthogonales :**
- Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit, les distances $ AH $ et $ AK $ sont maximisées car $ M $ est équidistant des côtés $ (AB) $ et $ (AC) $.
- Les projections orthogonales de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ sont donc maximisées.
3. **Calcul de la distance $ HK $ :**
- La distance $ HK $ est la distance entre les points $ H $ et $ K $, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissés de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ respectivement.
- Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit, les distances $ AH $ et $ AK $ sont maximales, ce qui maximise également la distance $ HK $.
4. **Lien avec le demi-périmètre :**
- Le demi-périmètre du triangle $ ABC $ est donné par $ s = \frac{a + b + c}{2} $, où $ a = BC $, $ b = AC $, et $ c = AB $.
- Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit, les distances $ AH $ et $ AK $ sont égales aux demi-périmètres des triangles formés par les projections orthogonales.
### Démonstration détaillée :
1. **Projections orthogonales et distances :**
- Soit $ M $ le centre du cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $.
- Les distances $ AH $ et $ AK $ sont les projections orthogonales de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ respectivement.
- Ces distances peuvent être exprimées en termes des côtés du triangle $ ABC $.
2. **Utilisation des propriétés du cercle exinscrit :**
- Le centre du cercle exinscrit est équidistant des côtés $ (AB) $, $ (AC) $, et $ (BC) $.
- Les distances $ AH $ et $ AK $ sont donc égales aux demi-périmètres des triangles formés par les projections orthogonales.
3. **Calcul de la distance $ HK $ :**
- La distance $ HK $ est la somme des distances $ AH $ et $ AK $.
- Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit, ces distances sont maximales et égales aux demi-périmètres des triangles formés par les projections orthogonales.
4. **Conclusion :**
- La distance $ HK $ est donc égale au demi-périmètre du triangle $ ABC $.
### Conclusion :
Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $, la longueur $ HK $ est égale au demi-périmètre du triangle $ ABC $. Cette position de $ M $ garantit que les projections orthogonales de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ sont maximisées, ce qui maximise la distance entre $ H $ et $ K $ et la rend égale au demi-périmètre du triangle.

Borassus · 29-12-2024 17:06:22

J'ai, en complément, posé la question suivante :
« Comment, de plus, démontrer que le maximum est atteint lorsque M est au centre du cercle exinscrit dans l'angle Â ? »

Voici sa réponse :

Mistral AI a écrit :

Pour démontrer que le maximum de la distance $ HK $ est atteint lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $, nous devons montrer que cette position de $ M $ maximise les distances $ AH $ et $ AK $.
### Étapes de la démonstration :
1. **Définir le cercle exinscrit :**
- Le cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $ est le cercle qui est tangent à la droite $ (BC) $ et aux prolongements des côtés $ (AB) $ et $ (AC) $.
- Le centre de ce cercle est le point où les bissectrices extérieures des angles $ \widehat{B} $ et $ \widehat{C} $ se rencontrent.
2. **Propriétés du centre du cercle exinscrit :**
- Le centre du cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $ est équidistant des côtés $ (AB) $, $ (AC) $, et $ (BC) $.
- Ce point est également sur la bissectrice de l'angle $ \widehat{A} $.
3. **Projections orthogonales :**
- Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit, les distances $ AH $ et $ AK $ sont maximisées car $ M $ est équidistant des côtés $ (AB) $ et $ (AC) $.
- Les projections orthogonales de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ sont donc maximisées.
4. **Calcul de la distance $ HK $ :**
- La distance $ HK $ est la distance entre les points $ H $ et $ K $, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissés de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ respectivement.
- Lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit, les distances $ AH $ et $ AK $ sont maximales, ce qui maximise également la distance $ HK $.
### Conclusion :
Le maximum de la distance $ HK $ est atteint lorsque $ M $ est au centre du cercle exinscrit dans l'angle $ \widehat{A} $. Cette position de $ M $ garantit que les projections orthogonales de $ A $ sur $ (MB) $ et $ (MC) $ sont maximisées, ce qui maximise la distance entre $ H $ et $ K $.

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