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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Rescassol
- 02-12-2024 00:17:50
Bonsoir,
Ah ! D'accord ! J'avais zappé le "ou égaux" dans la définition de $\pi(n)$, le problème venant alors du fait que $2269$ est premier.
Cordialement,
Rescassol
- Sulfura
- 02-12-2024 00:10:28
L'erreur vient du fait que $\pi(2269)=337$ et non 336.
- Rescassol
- 02-12-2024 00:04:32
Bonsoir,
Alors, où est l'erreur là dedans:
$n=2269$, $\pi (n)=336$, $\sigma (n+2)=3032$
$|\pi (n)-\sigma (n+2)|=2696$
$\sigma_2(2696)=9653450$
$\sqrt{9653449}=3107=13\times 239$ ?
Cordialement,
Rescassol
- Sulfura
- 01-12-2024 23:44:27
C'est suffisant pour invalider ma conjecture.
Par contre 2269 n'est pas un contre-exemple.
- Rescassol
- 01-12-2024 23:34:30
Bonsoir,
Les contre-exemples ont quand même l'air assez rares.
$2269$ et $31880$ sont les seuls avant $100000$.
Cordialement,
Rescassol
- Sulfura
- 01-12-2024 23:17:15
Effectivement avec $n=31880$ la conjecture n'est pas valable donc elle est fausse.
Je te remercie beaucoup pour ce contre-exemple !
- Rescassol
- 01-12-2024 22:57:18
Bonsoir,
Essaie avec $n=2269$ ou $n=31880$.
Cordialement,
Rescassol
- Sulfura
- 01-12-2024 21:37:33
Bonjour,
Je travaille en ce moment sur la répartition des nombres premiers et je pense avoir trouvé un petit quelque chose : https://mathoverflow.net/questions/4764 … me-numbers
Pour les non anglophones lire ce qui suit :
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Soit $\sigma(n)$ la somme des diviseurs d'un entier naturel $n$, $\sigma_2(n)$ la somme des carrés des diviseurs d'un entier naturel $n$, $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier naturel $n$ (fonction de compte des nombres premiers).
Soit l'expression : $$A=\sigma_2(|\pi(n)-\sigma(n+2)|)$$
Si $\sqrt{A-1}$ est un entier alors $\sqrt{A-1}$ est un nombre premier.
Par exemple avec $n=100$ nous avons : $A=\sigma_2(|\pi(100)-\sigma(102)|)=\sigma_2(|25-216|)=\sigma_2(191)=36482$
Et $\sqrt{36481}=191$
Comme $\sqrt{36481}$ est un entier alors $\sqrt{36481}$ est aussi un nombre premier (ici 191).
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Je pense que c'est une conjecture intéressante, qui n'a pas pu être prouvée sur mathoverflow mais je mets ça ici quand même, ça pourrait intéresser des gens car si la conjecture venait à être démontrée on pourrait y voir plus clair sur la distribution des nombres premiers.