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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Matos2403c
- 12-11-2024 15:40:56
Bonjour,
il y a 2 parmi n soit n(n-1)/2. C'est très clair maintenant. Je vous remercie pour votre aide!
Bonne fin de journée.
- bridgslam
- 10-11-2024 10:33:32
Bonjour,
Combien de paires {i,j} y-a-t-il dans {1,..., n} ? C'est un dénombrement élémentaire, sinon vous pouvez regarder ce qui se passe sur un tableau de couples...
A.
- Matos2403c
- 09-11-2024 19:01:25
Dans ce cas là x1=...=xn=1 implique n2 est un max.
- Matos2403c
- 09-11-2024 18:58:53
Bonjour,
J'ai rassemblé les éléments de B en paires (xi/xj+xj/xi)i<j. J'avoue avoir cependant encore du mal à déterminer le nombre de ces paquets (Li)i∈{1,...n-1} minorés par 2 chacun. Il me faut déterminer le nombre de ces paires pour exploiter la 1ère question de minoration par 2.
Ensuite je pourrais écrire que (x1+...+xn)(1/x1+...+1/xn)≥n+2p où p est le nombre de paires supérieures ou égales à 2. Je m'excuse si ce que je demande est trivial mais je n'arrive clairement pas à trouver p.
merci pour vos réponses détaillées. Je n'ai pas encore accès à l'inégalité de Cauchy-Schwartz mais en cherchant sur le net je suis tombée sur un exo consistant à montrer que (x1+...+xn)(1/x1+...+1/xn)≥n2 ce qui résout le problème et montre que p=n(n-1)/2 mais j'aimerais bien comprendre la suite du 1er cheminement.
Bonne soirée.
- bridgslam
- 07-11-2024 23:52:33
Bonsoir,
On peut noter aussi ( directement ) que les $x_i$ et leurs inverses sont des carrés, et appliquer du même coup l'inégalité de Cauchy-Schwartz, si on connaît, qui donne aussitôt l'inégalité ad hoc.
A.
- bridgslam
- 07-11-2024 21:01:12
Bonsoir,
Les termes de la somme avec i=j sont ceux que vous ajoutez à B. En écrivant (1+ ... +1) ça ne veut rien dire, sans préciser combien de 1 sont dans cette somme.
Les autres, ceux de B selon votre écriture, sont à écrire aussi de façon moins ambigüe, ce qui permet de trouver un minorant de B, donc ensuite de la somme globale, en utilisant la question 1.
Notamment le 1/ incite à indicer B sur toutes les paires {i,j} à deux éléments...
L' exercice n'est pas difficile mais demande de la clarté et un peu de méthode.
Bon courage
A.
- Matos2403c
- 07-11-2024 20:05:14
Bonsoir,
merci énormément pour votre réponse. Désolée si c'est une question stupide mais en fait est-il possible que i soit égale à j? parce que j'ai trouvé que dans tous les termes de la somme B i est strictement inférieur à j.
Bonne soirée à vous.
- bridgslam
- 07-11-2024 18:31:38
Bonsoir,
Développer l'expression en distinguant les cas i = j, du contraire. Vous devez trouver un minorant qui ne dépend que de n.
Il suffit de minorer B, et de rassembler l'expression totale.
En donnant des valeurs bien choisies aux $x_i$, montrer que ce minorant est atteint, c'est donc mieux qu'un inf, c'est un minimum.
Bonne soirée
A.
- Matos2403c
- 07-11-2024 17:50:26
Bonjour, je bloque un peu sur la deuxième question de cet exo et j'aimerais bien qu'on m'aide un peu là-dessus.
Il s'agit de déterminer l'inf de A={(x1+...+xn)(1/x1+...+1/xn)/(x1,...,xn)∈(ℝ*+)n}.
1)montrer que ∀xi,xj>0, xi/xj+xj/xi≥2.
2)trouver infA pour n≥1 fixé.
en développant la somme je trouve que S=(1+...+1)+(x1/x2+...+xn/xn-1)=n+B. Je n'arrive pas à trouver la valeur de B. Chaque quantité est minorée par 2 mais je bloque ici.
Merci beaucoup.