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Roro
03-11-2024 20:46:23

Bonsoir,

L'application $f$ n'est pas contractante car il n'existe pas de constante $C<1$ telle que pour tous réels $x$ et $y$ on a $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|$.

Elle est simplement $1$-lipschitzienne ce qui n'est pas exactement la même chose.

Trace la fonction $f$ et tu comprendras ce qu'il se passe : la courbe représentant $f$ ne croise jamais la droite d'équation $y=x$ (sinon il y aurait un point fixe), mais presque lorsque $x$ devient grand...

Roro.

Paire2ski
03-11-2024 18:55:04

Bonjour, j'aurai besoin d'un éclaircissement sur un exo de complétude des espace métrique.

Soit f de R dans R donnée par f(x)=sqrt(x^2+1).

Montrer que f vérifie |f(x)-f(y)|<|x-y|, pour tout x,y dans R mais que f n'admet pas de point fixe.

J'ai réussis l'exercice pourtant je n'arrive pas à concevoir ce résultat. Si f vérifie la propriété elle est donc contractante et puisque elle est définie d'un espace complet dans lui-même, alors par le théorème du point fixe de Banach, elle devrait admettre exactement un point fixe. Pourtant l'exo suggère que non.

Sauriez-vous m'éclairer ?

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