Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
Tout d'abord, merci pour la réponse! La caractérisation de la continuité composante par composante m'était sortie de la tête.
Par ailleur, laissez moi un peu préciser mon questionnement:
J'aurais aimé appliquer le résultat pour résoudre l'exercice suivant:
Soit \(\gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb R^n\) une courbe paramétrée de classe $C^1$
Montrer que
\(\forall \epsilon < 0, \exists r > 0,\)
\(\forall (s,t) \in [0,1]^2, |t-s|\le  r \Rightarrow \| \gamma (t) - \gamma (s) - (t-s)\gamma '(s)\| \le \epsilon|t-s|\)

Pour ce faire, je souhaitai définir \(\Gamma : [0,1]^2 \rightarrow \mathbb R^n\) ,tq

$\Gamma(t,s)=\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{t-s} $si$ t\neq s, \Gamma(t,s)=\gamma'(t) $sinon.

avec comme norme sur \([0,1]^2 \) la norme produit.
On aurait donc  \( \Gamma \) une fonction continue sur un compact donc uniforme continue en vertue du Théorème de Heine, ce qui nous aurait donnée:
\( \forall \epsilon < 0, \exists \eta > 0,
\forall [(t,s),(s,s)] \in [0,1]^4, max(|t-s|,|s-s|),|\le  r \Rightarrow \| \Gamma (t,s) - \Gamma (s,s)\| \le \epsilon \)
Ainsi la condition \(max(|t-s|,|s-s|),|\le r\) se ramènerait à $|t-s|\le  r$ par définition de la norme produit.
Une démonstration similaire est elle envisageable si je défini \(\Gamma\) composante par composante ?

Cordialement,

C.

Edit: Je pense qu'il sera plus convenable de réécrire l'énoncé de l'exercice ici:

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par
$F(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}&\textrm{ si }x\neq y\\
f'(x)&\textrm{ sinon.}
\end{array}
\right.$
Démontrer que F est continue sur $\mathbb R^2$.

La question est donc: est ce que le résultat est encore valable pour $f:\mathbb R\to\mathbb R^n$ une fonction de classe $C^1$ ?

C.