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Ok, merci, c'est la seule façon de le voir ?

Bonjour,

J'ai beau réfléchir et chercher, je n'arrive pas à comprends comment on passe de -15x congru à -21 [16] à 1x congru à -21 [16] dans l'exercice suivant, j'ai bien compris qu'on utilise le fait que -15 est congru à 1 [16] mais je ne comprends pas pourquoi ça nous permet de remplacer -15x par 1x :

[tex]
\section*{Correction}

a) Déterminer un inverse de 5 modulo 16.
b) En déduire les solutions de l'équation \(5x \equiv 7 \pmod{16}\).}

a) 5 et 16 sont premiers entre eux, donc 5 admet un inverse modulo 16. 
Déterminons cet inverse : 
\(x\) est inverse de 5 modulo 16, si \(5x \equiv 1 \pmod{16}\).

Or \(x\) est nécessairement congru à l'un des entiers \(0, 1, 2, 3, \dots, 15 \mod 16\). 
Par disjonction des cas, on a :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x \mod 16 & 0 & 1 & 2 & 3 & \dots \\
\hline
5x \mod 16 & 0 & 5 & 10 & -1 & \dots \\
\hline
\end{array}
\]

On peut arrêter la recherche car si \(5 \times 3 \equiv -1 \pmod{16}\), alors \(5 \times (-3) \equiv 1 \pmod{16}\). 
Ainsi, \(-3\) est un inverse de 5 modulo 16.

b) \(5x \equiv 7 \pmod{16}\).

Pour « se débarrasser » du facteur 5, on va multiplier les deux membres par un inverse de 5 : 
Soit : \(-3 \times 5x \equiv -3 \times 7 \pmod{16}\), 
\[
-15x \equiv -21 \pmod{16},
\] 
\[
1x \equiv -21 \pmod{16} \quad \text{car} \quad -15 \equiv 1 \pmod{16}.
\] 
Soit encore : 
\[
x \equiv 11 \pmod{16}.
\]

Réciproquement : 
Si \(x \equiv 11 \pmod{16}\) alors 
\[
5 \times x \equiv 5 \times 11 \pmod{16},
\] 
\[
5x \equiv 55 \pmod{16},
\] 
\[
5x \equiv 7 \pmod{16}.
\]

On en déduit que \(x \equiv 11 \pmod{16}\). 
Les entiers \(x\) solutions sont tous les entiers de la forme \(11 + 16k\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).

[/tex]