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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Black Jack
- 11-10-2024 10:08:07
Bonjour,
On parle d'infinitésimal ou "'d'infiniment petit" en analyse non standard.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard
L'apport de cette théorie a permis de simplifier certains raisonnements et calculs, surtout en calcul différentiel et intégral, (en simplifiant très fort) a étendu aux "infiniment petits" l'utilisation d'opérations mathématiques (multiplication, division ...) .
Pour le reste, on se sert peu de l'ANS (analyse non standard) car on peut atteindre les mêmes résultats sans son utilisation.
L'analyse non standard a défini rigoureusement les infiniment petits (et les infiniment grands) et les opérations permises.
Beaucoup de mathématiciens parlent de "méthode de physiciens" en pensant, à tort, que la méthode n'est pas mathématiquement rigoureuse. Mais elle l'est devenue depuis les années 1960 suite aux travaux (entre autres) d'Abraham Robinson.
Voir par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Infiniment_petit
quelque mots sur les "infiniment petits".
Distinction sans soucis de rigueur (de ma part) :
Quand on parle d'un nombre réel, il est défini, par exemple 5,18 ou Pi ou 2/7 ou ...
Un infinitésimal (infiniment petit) n'a pas de valeur définie, c'est "comme un nombre" strictement positif mais dont la valeur est plus petite que tout nombre réel strictement positif.
- DeGeer
- 11-10-2024 09:49:12
Bonjour
On peut parler d'infinitésimaux dans le cadre de l'analyse non standard, et dans ce cas, la notion de dérivée ne fait pas intervenir de limites.
La notion de limite a été introduite pour éviter de parler d'infinitésimaux alors qu'il n'y avait pas de théorie rigoureuse les concernant (elle n'est apparue que dans la deuxième moitié du XXème siècle).
- Eust_4che
- 11-10-2024 09:05:26
Bonjour,
Je suis curieux de voir où l'on parle d'un "infinitésimal".
Mathématiquement, le nombre dérivé de $f$ au point $x$ est la limite, si elle existe, de la fonction $h \mapsto f(x + h) - f(x) / h$ définie pour $h \neq 0$ et $|h| < r$ ($r > 0$ dépendant de la fonction $f$ : il faut que $f(x + h)$ existe, donc $h$ ne doit pas être trop loin de $0$ pour que $x + h$ ne soit pas trop loin de $x$). Ici, $h$ est donc un nombre réel, un élément de $\mathbf{R}$.
- Obelix752
- 10-10-2024 22:46:52
Bonsoir,
On définit la dérivée d'une fonction [tex]f \ : \ ]a,b[ \to \mathbb{R}[/tex] en un point [tex]x \in ]a,b[ \subset \mathbb{R}[/tex], par le nombre, $$ f ' (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
On m'a dit que l'objet [tex]h[/tex] dans $ f ' (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} $, n'est pas un nombre, mais, un infinitésimal.
Qu'est ce que, un infinitésimal, et qu'elle est sa différence avec la notion d'un nombre ?
Merci d'avance.