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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 02-10-2024 17:20:23
Complet signifie que toute suite de Cauchy de $L^2$ converge (au sens de la norme $2$, et avec une limite dans $L^2$).
F.
- Sebastien90
- 02-10-2024 16:04:49
Merci beaucoup pour votre réponse Fred.
Que signifie que [tex]L^2 ( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda )[/tex] est complet ?
Est ce que cela signifie qu'il faut trouver un espace préhilbertien [tex]H[/tex] muni du produit scalaire que tu as décrit plus haut, et ensuite montrer que, [tex]L^2 ( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda ) = \overline{H}^{|| \bullet ||_{2} }[/tex], où, [tex]|| \bullet ||_{2}[/tex] est la norme dérivant de ce produit scalaire ?
Si oui, quel ce [tex]H[/tex] ?
Merci d'avance.
- Fred
- 02-10-2024 15:52:42
Bonjour,
C'est facile de vérifier que $\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}f(\omega)\overline{g(\omega)}d\lambda(\omega)$ est un produit scalaire.
Ensuite, il faut démontrer que $L^2$ est complet et là, c'est une autre paire de manches. Ce résultat s'appelle le théorème de Riesz-Fisher, et il n'est pas simple à démontrer.
F.
- Sebastien90
- 02-10-2024 15:46:30
Bonjour à tous,
Soit [tex]( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda )[/tex] un espace mesuré.
Comment montrer que, l'espace de Lebesgue, [tex]L^2 ( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda )[/tex] est un espace de Hilbert ?
Merci d'avance.