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En utilisant la notion de suite généralisée, comme indiqué dans le 2e message

Ben... qu'on remplace la notion de suites (au sens usuelle) par celle de suites généralisées

Bonjour à tous,

L'intérêt des suites (au sens usuelle du terme) est de donner un critère "simple" d'expression de certaines notions topologiques. De ce point de vue, on dira qu'une partie $\rm A$ d'un espace topologique $\rm X$ est fermé si elle contient la limite de chacune des suites $(a_n)$ d'éléments de $\rm A$ ; qu'une application de $\rm X$ dans un espace topologique $\rm Y$ est continu en un point $x$ si $f(x)$ est la limite de chacune des suites $(f(a_n))$ lorsque $a_n$ tend vers $x$, etc. Il se trouve qu'on obtient pas toute les notions topologiques en raisonnant de cette façon. La partie $\rm A$ peut ne pas être fermée alors qu'elle contient la limite de chacune des suites $(a_n)$ d'éléments de $\rm A$. Une application ne pas être continue au point $x$, alors que l'on a bien $\lim_{n \to +\infty} f(a_n) = f(x)$ dès que $\lim_{n \to + \infty} a_n = x$. C'est en ce sens que l'on dit que la notion de suites est "insuffisante".

Lorsque l'espace topologique métrisable, les suites jouent effectivement le rôle qu'on peut intuitivement leur donner. Lorsque l'espace topologique n'est pas métrisable, ce n'est plus le cas.

L'un des moyens utilisé pour pallier cette insuffisante est de raisonner "en dehors" du dénombrable. Au lieu de considérer des listes d'éléments indexés par $\mathbf{N}$, on utilise n'importe quel ensemble ordonné (ou même préordonné) et filtrant $\rm I$.

Mathématiquement, une distribution est une forme linéaire continue sur l'espace topologique localement convexe $\mathscr{D}$ des applications définies dans un ouvert de $\mathbf{R}^n$, à valeurs réelles (ou complexes), de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et à support compact, muni de la topologie localement convexe la plus fine rendant continue les injections canoniques $\mathscr{D}_\rm K$ dans $\mathscr{D}$, $\mathscr{D}_\rm K$ désignant le sous-espace de $\mathscr{D}$ des applications dont le support est une partie du compact $\rm K$. Cette topologie n'est pas métrisable. Une forme linéaire peut donc être séquentiellement continue (ie vérifier la caractérisation de la continuité dans les espaces métriques) sans être continue (une distribution). On ne peut donc pas utiliser les suites pour parler de continuité, d'où leur remplacement.

Bonjour,
Pour moi ce n'est pas la généralisation des suites mais des fonctions.
Le concept de distribution puise ses origines dans la modélisation des phénomènes physiques (en particulier des chocs et impulsions et des mesures) initiée par des physiciens comme les anglais Oliver Heaviside (1850-1925) (équations de Maxwell) puis Paul Dirac (1902-1984) dans la première moitié du 20ième siècle. La formalisation mathématique de ce concept s’est ensuite construite tout au long du siècle,au travers des travaux de l’école soviétique et en particulier de Serguei Sobolev(1908-1989), ainsi que du mathématicien français Laurent Schwartz (1915-2002). Laurent Schwartz, membre du groupe Bourbaki, fut,  pour ses ses travaux en relation avec la théorie des distributions (on disait aussi fonctions généralisées dans l’école de Saint Petersbourg), le premier mathématicien français en 1950 à recevoir la médaille Fields .

Bonsoir,

Sur le lien suivant, https://www.bibmath.net/dico/index.php? … iltre.html , on affirme que,

Pouvez vous m'expliquer cette phrase de manière claire ou via des exemples d'applications ?

Merci d'avance.