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Bonjour,

J'utilise aussi la notation prime pour expliquer à un élève débutant en matière de dérivation les phases successives de la dérivée d'un polynôme :

$\left( 5x^4 - 7x^3 +  - 11x + 6 \right)'$
$= (5x^4)' + (- 7x^3)' + (3x^2)' + (- 11x)' + (6)'$
$= 5 \times (x^4)' + (-7) \times (x^3)' + 3 \times (x^2)'  + (-11) \times (x)' + (6)'$

tout en indiquant que cette façon d'écrire est "entre nous", et que l'élève ne doit pas l'utiliser sur une copie.

Bonne journée.
B.

Bonjour,
Comme toujours, il faut se souvenir que $f$ est une fonction mais $f(x)$ est une valeur de la fonction. La notation $'$ prend une fonction en entrée et renvoie une fonction${}^*$. Si $f$ est une fonction on peut écrire $f'$ mais $f(x)$ n'est a priori pas une fonction donc on ne peut pas écrire $(f(x))'$. De même $1'$ n'a de ce point de vue là aucun sens car $1$ est un nombre pas une fonction (même si on comprend ce que ça veut dire).

Sinon voici quelques problèmes qui me viennent en tête il y en a sûrement d'autres que j'ai oublié.

Premier problème : si on trouve $f(x_0)=g(x_0)$ pour un certain $x_0$ on a très envie d'écrire $(f(x_0))'=(g(x_0))'$ alors qu'on a pas forcément $f'(x_0)=g'(x_0)$. De manière plus formelle il faut se souvenir que $f'(x_0)$ ne dépend pas que de la valeur de $f$ en $x_0$ mais de toutes les valeurs de $f$ sur un voisinage de $x_0$, en ce sens écrire $f'(x_0)$ est bien plus cohérent que d'écrire $(f(x_0))'$.

Deuxième problème : que vaut $(xy)'$ ? Est-ce que ça vaut $y$ ou est-ce que ça vaut $x$ ? Si on pose $f : x \mapsto xy$ alors il est clair que pour tout $x$ on a bien $f'(x) = y$, en revanche si on pose $g : y \mapsto xy$ alors cette fois $g'(y)=x$.

Troisième problème (plus concret) : un $'$ écrit en haut à droite d'une lourde expression risque d'être oublié (car passé inaperçu) lorsqu'on recopie d'une ligne à l'autre.

Une solution : dans des lignes de calcul, utiliser la notation de Leibniz. Par exemple : $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$ fait sens.
On peut alors écrire $\frac{d}{dx}(x^2\cos(x)) = x^2\frac{d}{dx}(\cos(x))+\cos(x)\frac{d}{dx}(x^2)=-x^2\sin(x)+2x\cos(x)$.
On peut aussi écrire $\frac{d}{dx}(xy)=y$ et $\frac{d}{dy}(xy)=x$.

Autre problème (peut être plus technique) qui souligne le fait qu'il faut faire la différence entre $f$ et $f(x)$. L'idée est de prendre pour $f$ une fonction qui a un nombre associe une fonction.
Par exemple, prenons la fonction
$\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathbb{R} & \to & \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\\
&  & x & \mapsto & g_x : y \mapsto x
\end{array}$
Autrement dit à un réel $x$, $f$ associe la fonction constante $y\mapsto x$ (ie dont le graphe est la droite horizontale d'ordonnée $x$).
Alors $f(x)'$ ici a un sens et pour tout $x$, $f(x)'$ est la fonction nulle. Mais quel sens donné à $f'$ ? Avec le calcul différentiel, on peut dire que dans l'espace vectoriel $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, alors $f(x+h)=f(x)+hc$ où $c$ est la fonction constante égale à $1$. Ainsi quelque soit la norme sur $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $f$ est différentiable sa différentielle étant
$Df : \mathbb{R} \to \mathcal{L}(\mathbb{R}, \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})), x\mapsto (h \mapsto hc)$
Autrement dit la "dérivée" (il faudrait dire différentielle) de $f$ ne vaut pas $0$.

Bonne journée

${}^*$ En pratique la notation $'$ prend une fonction numérique $f$ et un nombre $x$ et renvoie $f'(x)$ le nombre dérivé de $f$ en $x$. En laissant $x$ variable, on obtient bien $f'$ une fonction qui a un réel $x$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x$ (je passe sous silence tous les problèmes de dérivabilité).

En effet, ce qui n'a bien sûr, comme je l'ai écrit, aucun sens et est dû à une convention d'écriture qu'on m'a apprise lorsque j'avais 15 ans.
Étant donné que tu invoques les fonctions circulaires, cela me fait penser que cette convention d'écriture, $f'(x)$, existe peut-être pour se rapprocher d'autres écritures telles que $\cos^2(x)$ et autres $\sin^2(x)$…

Rien ne t'en empêche. Comme je l'ai écrit, c'est plutôt pour des longs calculs : tu vas probablement vite t’emmêler les pinceaux avec une telle écriture. Alors imagine après quand tu enseignes ça à des ados. De fait, tu conviens alors d'une convention que tu enseignes et cette convention devient naturelle pour les élèves qui deviendront eux-mêmes des profs qui appliqueront cette convention… et ainsi de suite jusqu'à qu'elle s'impose.

Bonjour.

Je n'en sais pas plus que toi, mais moi, lorsque je lis $(\ln x)'$, je traduis ça soit par $\ln' x'=\ln' 1$ soit par $\ln\times 1 + \frac{1}{x}\times x=\ln + 1$, ce qui n'a aucun sens. [AJOUT] Pire encore, lorsque $x$ est une valeur numérique bien déterminée, par exemple $x=3$, alors je traduis $(\ln 3)'$ par la dérivée de la valeur numérique de $\ln 3$, soit $(1,099)'=0$.
Au-delà de cet aspect, il y a aussi, me semble-t-il, la prise en compte des calculs parfois longs et compliqués. Quid de fonctions telle que

$$\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}+\frac{x^3}{\sqrt{x^2+2x-3}} ?$$
Même si j'imagine que dans les deux cas, c'est dû fait de conventions d'écritures qui m'ont été enseignées en amont pour plus de clarté.