Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Très joli !
C'est bien plus direct que ce que j'avais en tête pour montrer que le max est plus petit que 17 :-)

Bonsoir,
Non le maximum n'est pas 19. J'avais précisé en PS que mon argument ne montrait pas que le maximum était 19 mais qu'il était plus petit que 19 (donc en particulier pas égal à 20). Cependant, en travaillant un peu plus mon argument on peut montrer qu'on ne peut pas faire mieux que 17, or Ernst a produit une solution avec 17, le maximum est donc 17.
Pour le minimum, il est de 5 billets achetés (les cinq qui ont des billets au début). Il suffit de faire en sorte que quatre d'entre eux forment une clique (les trois amis de chacun de ces quatre sont les trois autres), cette clique n'influence personne et donc le cinquième ne pourra influencer personne a lui tout seul.

Bonne soirée

Amis des case-têtes, bonsoir.

Perso j'arrive à 17 billets de la façon suivante :

Vingt élèves, chacun a trois amis. En rouge les cinq billets d'origine. En orange les élèves qui voient deux de leurs amis avec des billets. De proche en proche, les jaunes en achètent, puis les verts, et enfin les bleus.

Bonsoir,
Imaginons qu'on représente les 20 élèves comme 20 pions, chacun ayant trois bras. En reliant les bras des pions avec des bouts de ficelle on voit apparaître la structure d'amitié de la classe, deux pions sont reliés par un fil si et seulement si ils représentent deux élèves qui sont intimes.

Maintenant, pour ton problème, on part d'un échiquier avec juste 5 pions dessus qui ont chacun les trois bras libres (aucune ficelle pour le moment), ces pions sur l'échiquier représentent les élèves qui initialement ont acheté les billets pour le concert.

On peut rajouter de la ficelle et/ou des pions sur l'échiquier de l'une des deux manière suivante :
Option 1 : on déclare que deux des pions sur l'échiquier (qui ont chacun encore au moins un bras libre) sont amis intimes et on met juste un bout de ficelle entre ces deux pions.
Option 2 : on déclare que deux des pions sur l'échiquier ont un ami intime commun qui n'est pas encore sur l'échiquier. On rajoute alors un nouveau pion sur l'échiquier relié par deux ficelles à ces deux pions qui l'ont influencé.

A la fin, l'échiquier contiendra exactement tous les pions qui vont au cinéma.

Il y a deux quantités qui nous intéressent : la quantité $A$ qui représente le nombre total de pions sur l'échiquier, la quantité $B$ qui représente le nombre total de bras libres des pions sur l'échiquier.

Initialement, on a donc $A=5$ et $B=3\times 5=15$.

Si on fait l'option 1, alors $A$ ne change pas, mais $B$ diminue de $2$.
Si on fait l'option 2, alors $A$ augmente de $1$, mais $B$ diminue de $1$ ($B$ diminue de $2$ mais augmente de $1$ grace au nouveau pion).

Notons qu'il est impossible de faire l'option 2 si la valeur de $B$ actuelle est inférieur ou égale à $1$.

Ainsi, dans le meilleur des cas on ne fait que l'option 2, $B$ diminue de $1$, $14$ fois jusqu'à valoir $1$, mais alors $A$ à augmenté de $14$ et vaut $19$.

Bilan : à la fin il y aura au plus $19$ pions sur l'échiquier et il est donc impossible que cinq élèves influencent toute la classe.

PS : ce raisonnement ne prouve pas qu'il est possible pour 5 élèves d'influencer 19 autres !
PPS : caché derrière il y a la théorie des graphes (les pions sont les sommets, les bouts de ficelle sont les arêtes), si bridgslam passe par là il pourra certainement nous en dire plus.

Bonne soirée

Les premiers cinq  élèves qui achèteront des billets seront choisis au hasard. 
Les autres achèteront le billet si leurs amis intimes (deux ou plus) achètent des billets.

Avec la condition :
[tex]
A ~intime ~de~ B~ \Leftrightarrow~
B~ intime ~de ~A
[/tex]

Bonjour mes amis.
J'ai bloqué sur le problème suivant :

Il y a 20 élèves dans une classe d'école secondaire et chaque élève a exactement trois amis intimes dans la classe.
Cinq des élèves ont acheté des billets pour une concert à venir.
Si un élève voit que deux ou plusieurs de ses trois amis intimes ont acheté des billets, il en achètera un aussi.
Est-il possible que tous les élèves de la classe achètent des billets pour le concert?
On suppose que l'amitié est mutuelle, si l'élève A est un ami intime de l'élève B, alors B est un ami intime de A

Moi, j'ai trouvé 15 élèves (achètent des billets)