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Bonjour,

Notons $l$ la limite commune des deux suites et considérons un réel $r > 0$ arbitraire. On doit montrer qu'il existe un entier $\eta$ vérifiant la propriété suivante : si $n \geq \eta$ alors $l - r \leq u_n \leq l + r$. Il s'agit là de la définition de l'expression "$l$ est la limite de la suite $(u_n)$".

On fait l'hypothèse que $l$ est la limite de la suite extraite $(u_{2n})$. Il existe donc un entier $\eta$ satisfaisant la propriété suivante : si $n \geq \eta$ alors $l - r \leq u_{2n} \leq l + r$. On en déduit que pour tout entier pair $n = 2p$, avec $p \geq \eta$, on a

$$(1)  \qquad l - r \leq u_{2p} = u_n \leq l + r, $$

ce qui revient à faire l'hypothèse "$n$ est pair" et "$n \geq 2\eta$.

On fait aussi l'hypothèse que $l$ est la limite de la suite extraite $(u_{2n + 1})$. Il existe donc un entier $\eta'$ satisfaisant la propriété suivante : si $n \geq \eta'$ alors $l - r \leq u_{2n + 1} \leq l + r$. On en déduit que pour tout entier impair $n = 2p + 1$, avec $p \geq \eta'$, on a
$$ (2) \qquad l - r \leq u_{2p + 1} = u_n \leq l + r,$$
ce qui revient à faire l'hypothèse "$n$ est impair" et "$n \geq 2 \eta' + 1$.

Posons $\eta'' = \max \{ 2 \eta' + 1, 2 \eta \}$, et considérons un entier quelconque $n \geq \eta''$. Si $n$ est pair, on a $(1)$, puisque $n \geq \eta'' \geq 2 \eta$. Si $n$ est impair, on a $(2)$, puisque $n \geq \eta'' \geq 2 \eta' + 1$. Ainsi, quel que soit l'entier $n \geq \eta''$ (pair ou impair), on a bien

$$l - r \leq u_n \leq l + r$$

L'entier $\eta''$ satisfait bien la propriété recherchée.

E.

PS : Considérons les trois suites extraites $(u_{3n})$, $(u_{3n + 1})$ et $(u_{3n + 2})$, et faisons l'hypothèse que ces trois suites ont la même limite $l$. Tu peux alors montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.