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Je pense qu'il n'y a qu'un nombre fini de tels triangles.

En effet, mon idée de base est que si un triangle devient très gros, alors sa surface (qui est d'ordre quadratique) sera largement plus grande que le périmètre (d'ordre linéaire).
Plus rigoureusement on a par exemple la propriété suivante pour un triangle :
Soit $T$ un triangle, $S$ la mesure de sa surface, et $p$ son périmètre. Notons $r$ le rayon de son cercle inscrit. Alors on a la relation $r=\frac{2S}{p}$.
Si on veut $S=p$ alors forcément $r=2$, et donc le cercle inscrit d'un tel triangle ne peut être "trop grand".

On a donc deux cas, ou bien les trois longueurs des côtés sont inférieures à disons $C=1000$, ou bien nous avons le plus petit côté de longueur "petite" (cela doit être quantifiable) et les deux autres côtés très très grands (on aura donc un triangle très aplati).
Le premier cas est très bien pour nous, car comme on suppose que les longueurs des côtés sont entières, on peut chercher exhaustivement toutes les solutions avec un script python par exemple.
Le deuxième cas me semble très peu probable avec des longueurs entières. En effet, si $a$ est le plus petit côté, alors on aura disons $1\leq a\leq 7$ (par comparaison avec le cercle inscrit d'un triangle équilatéral), et par l'inégalité triangulaire on peut écrire $c=b+x$ avec $|x|< a \leq 7$.
La formule de Héron évoquée par Yoshi relie l'aire du triangle aux longueurs, $a,b,c$
$S = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} = \frac{1}{4}\sqrt{(2b+a+x)(a-x)(2b+x-a)(x+a)}$
Soit $S=\frac{1}{4}\sqrt{((2b+x)^2-a^2)(a^2-x^2)}$
Il n'y a qu'un nombre fini de valeurs pour $a$ et $x$ et je pense que quelles que soient les valeurs de $a$ et $x$ alors il y a un nombre fini de $b$ tel que $((2b+x)^2-a^2)(a^2-x^2)$ soit un carré. (mais pour le moment ce n'est pour moi qu'une conjecture).

a    b     c    péri   aire 
5   12   13   30     30
9   10   17   36     36
7   15   20   42     42
6   25   29   60     60 

Aire calculée à partir de la formule de Héron