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(suite)...j'en déduis
$\forall i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}\iff\forall j\in J,\forall i\in I_j$
$\exists i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}\iff\exists j\in J,\exists i\in I_j$
$\forall i\in\{i\mid\forall j\in J,i\in I_j\}\iff ?$
$\exists i\in\{i\mid\forall j\in J,i\in I_j\}\iff ?$

Je ne suis pas sûr pour les 2 premières équivalences, et j'aimerais bien qu'on me renseigne pour les 2 dernières, et surtout qu'on m'explique les règles de l'algèbres booléennes lorsque les quantificateurs sont imbriqués les uns à l'intérieur des autres.

modifié : mon cours de première année L1 ne parle pas des quantificateurs imbriqués. Il s'agit de problèmes que je ne suis pas en mesure de résoudre si je n'ai pas étudié les préceptes correspondants.

Ok. A la toute fin, j'aurais écrit plutôt $\forall j\in J, x\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}$ mais je suppose que ça doit être équivalent à ce que tu as écris (bien que je n'ai pas de certitude à 100%, et c'est ce qui me pose un peu problème).

Quand je parle de première égalité je me réfère tout simplement à l'égalité initiale de la démonstration.

En fait pour la démonstration c'est l'immédiat des définitions.

$x\in \bigcap\limits_{i\in I}E_i \iff \{ \forall i\in I , x\in E_i \}$ (d'après la définition de l'intersection) alors que $x\in \bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i) \iff \{ \forall j\in J , x\in (\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i \}$. On sait que $x\in \bigcap\limits_{i\in I_j}E_i \iff \{ \forall i\in I_j , x\in E_i \}$ ceci implique que $x\in \bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i) \iff  \{ \forall j\in J , \forall i\in I_j , x\in E_j\}$. D'où l'égalité.

En fait dans la démonstration tu est préférable remplacer les accolades par des parenthèses.

Qu'est-ce que tu appelles "première égalité" ? celle de la 2ème ligne ?

Ma dernière question renvoie à l'égalité se trouvant dans ligne juste au-dessus. Si on compare les 2 membres, on voit que dans le membre de droite on a un $\forall j\in J$ et dans le membre de gauche on a $\bigcup\limits_{j\in J}$.

modifié : à moins que tu parles de la 1ère ligne. Mais dans ce cas cette égalité est équivalente à celle se trouvant sur l'avant-dernière ligne. Tu dis que cette égalité est immédiate à travers la définition. Désolé, moi je ne vois rien d'évident. Je dois justement démontrer cette égalité en utilisant les définitions de chacun des membres.

Bonjour. Soit $I=\bigcup\limits_{j\in J}I_j$. Il faut démontrer que $\bigcap\limits_{i\in I}E_i=\bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i)$.

On a par définition $\bigcap\limits_{i\in I}E_i=\{x\mid\forall i\in I,x\in E_i\}=\{x\mid\forall i\in\bigcup\limits_{j\in J}I_j,x\in E_i\}$
Et on a par définition $\bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i)=\bigcap\limits_{j\in J}\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}=\{y\mid\forall j\in J,y\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}\}$.

Comment on démontre que $\{x\mid\forall i\in\bigcup\limits_{j\in J}I_j,x\in E_i\}=\{y\mid\forall j\in J,y\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}\}$ ?
Il semblerait que la quantification $\forall j\in J$ devienne $\bigcup\limits_{j\in J}$, mais comment ça se démontre ?

[Edit Fred : j'ai changé le titre pour que ce soit plus clair...]