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Si on suppose $f\circ g=g\circ f$, alors on démontre facilement qu'on a également $f\circ g\circ ...\circ g=g\circ g\circ ...\circ f$, et donc ça démontre que l'autre fonction est $2\pi$-périodique.

Pour l'implication de droite à gauche, si on a la fonction qui est $2\pi$-périodique, alors on a $f\circ g\circ ... \circ g(x)=g\circ ...\circ g\circ f(x)$ $(k$ fois $g)$, et donc on a le cas particulier où $k=1$ et donc $f\circ g=g\circ f$

à bridgslam, soit $f\circ g=g\circ f$, donc $f(x+2\pi)=f(x)+2\pi$

$x\mapsto f(x)-x$ est $2\pi$-périodique signifie que $f(x)-x=f(x+2\pi)-x-2\pi$, c'est-à-dire $f(x+2\pi)-f(x)=2\pi$, or cette égalité est équivalente à celle qu'on a en hypothèse. On a démontré une implication. L'autre implication se démontre de manière similaire.

Bonsoir,

Pour ne pas vous tromper, poser par exemple h = f - id.

Partant de l'hypothèse que h est $2\pi$-périodique, écrire ce que ça veut dire précisément, sans oublier le quantificateur.
Ensuite, vous pouvez procéder aussi par équivalence  ( encore avec quantificateur) pour parvenir à l'autre propriété énoncée.
C'est une petite manipulation d'expression simple que vous devriez réussir.

Bon courage
A.

Bonjour, mon livre dit Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ et soit $g:x\mapsto x+2\pi$. Alors $f\circ g=g\circ f$ si, et seulement si, l'application $x\mapsto f(x)-x$ est $2\pi$-périodique.
Vous pouvez m'expliquer pourquoi ?