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Soit ? une fonction dérivable sur un intervalle ?. Soit ? ∈ ? et ℎ un nombre non nul tel que ? + ℎ ∈ ?.
1) Si ℎ est très proche de 0 alors, d’après la définition du nombre dérivé, on peut dire que le taux de variation
entre ? et ? + ℎ est très proche de ?
′
(?). En déduire que, si ℎ est très proche de 0, on peut écrire :
?(? + ℎ) ≈ ?
′
(?) × ℎ + ?(?).
2) On considère la fonction ? ∶ ? → ?
2 dérivable sur ℝ. On souhaite approcher la valeur ?(1) au voisinage de
? = 1.
2.a) Justifier que si ℎ est proche de 0, alors on peut écrire (1 + ℎ)
2 ≈ 1 + 2ℎ.
2.b) En déduire sans calculatrice une valeur approchée de 1,0052
et 0,9992
.
2.c) Comparer avec les valeurs exactes de ?(1,005) et ?(0,999). Conjecturer comment évolue la différence
entre la valeur exacte et la valeur approchée en fonction de ℎ.
3) Soit la fonction ? représentant la fonction marge d’erreur de l’approximation de ?(?) au voisinage de ? définie
par ?(ℎ) et ?? sa courbe représentative dans un repère du plan.

ICI IL Y A LE COURBE

3.a) Déterminer en fonction de ? l’équation de la tangente Δ à ?? en ?.
3.b) On appelle ? le point de la droite Δ d’abscisse ? + ℎ. Déterminer l’ordonnée du point ?.
3.c) On appelle ? le point de la courbe ?? d’abscisse ? + ℎ. Déterminer l’ordonnée du point ?.
3.d) Calculer la distance ??.
3.e) D’après question 1), si ? est proche de ?, on peut déterminer une valeur approchée de ?(?) à l’aide de la
relation
?(? + ℎ) ≈ ?
′
(?) × ℎ + ?(?), appelée « approximation affine de ?(?) au voisinage de ? ».
En déduire la fonction ? représentant la marge d’erreur lorsqu’on utilise cette approximation, en fonction de la
valeur de ℎ choisie ?
MERCI BEAUCOUP