Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Voilà c'est cela !
C'est en général de cette manière que l'on montre une équivalence (on peut aussi directement faire d'équivalence en équivalence, mais c'est souvent plus compliqué)

Si vous ne comprenez, c'est qu'il y a un problème au niveau de la logique.
Ici, il y a un petit résumé de ce qu'il faut savoir sur la logique.

Dans notre cas on peut dire que $\mathcal{P}$ est la proposition "$m\equiv 0 [7]$" et $\mathcal{Q}$ la proposition "$n\equiv 0[7]$"
On veut donc montrer $\mathcal{P} \iff \mathcal{Q}$, et pour cela on va procéder par double implication.
Je vais faire l'implication $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ pour montrer l'exemple.

Je suppose que la proposition $\mathcal{P}$ est vraie. Je suppose donc que l'on a $m\equiv 0 [7]$.
Maintenant, comme $m\equiv 0 [7]$ on a $3\times m \equiv 3\times 0 [7]$ et donc :
$$
3m \equiv 0 [7]
$$

On se retrouve donc avec :
$$
\left\{
\begin{array}\\
3m \equiv 0 [7] \\
n - 3m\equiv 0 [7]\\
\end{array}
\right.
$$
Et donc en additionnant $n-3m+3m \equiv 0+0 [7]$, c'est-à-dire :
$$
n\equiv 0 [7]
$$

J'espère que c'est assez clair et que ça vous permettra de conclure !

C'est nickel pour la question 3 !
Par contre il y a un problème de raisonnement pour la question 4 : on tourne en rond.

Vous partez de $n-3m \equiv 0 [7]$ et $m+2n \equiv 0 [7]$ pour juste après revenir à ces mêmes hypothèses et conclure en disant :

Il n'y a rien qui est démontré...

Pour montrer l'équivalence entre $m\equiv 0 [7]$ et $n \equiv 0 [7]$ cela se fait en 2 étapes :
1. Supposer que $m\equiv 0[7]$ et montrer que $n\equiv 0 [7]$
2. Supposer que $n\equiv 0[7]$ et montrer que $m\equiv 0 [7]$

Pour cela on pourra, en partie, utiliser la compatibilité avec l'addition i.e. :
$$
\left\{
\begin{array}\\
a \equiv b [n] \\
c \equiv d [n] \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow a+c \equiv b+d [n]
$$
(J'ai parlé de linéarité plus haut, mais c'est le mauvais terme)

Oui c'est cela !
Comme $-7a = 7\times (-a)+0$ on a bien que $7|-7a$ et ainsi $m \equiv 3a+b-2c [7]$ !
La question 3. c'est pareil, mais il faut surtout penser à utiliser ce que l'on vient de faire et ne pas repartir avec les grosses expressions de $n$ et $m$ (ça serait dommage !).
Pour la question 4. il faut se servir de la linéarité et bien démontrer que c'est une équivalence (un sens, puis l'autre).

Oui ça commence bien.
Maintenant, il faut aussi écrire $\overline{ab}$ de la bonne manière (comme pour $n = 100a+10b+c$) puis le tour est joué !

On a d'abord montré dans la question 1. que $n\equiv 2a+3b+c [7]$, et on laisse ça de côté pour l'instant (ça nous servira plus tard).

Le début de la question 2. est bien : on veut effectivement montrer que $7|(3a+b-2c)-m$.
Ce qu'il faut faire à partir de là c'est trouver comment exprimer $m$. Ce que je veux dire par là c'est que si on note $n=\overline{abc}^{10} = 100a + 10b + c$, comment peut-on exprimer $m$ avec $a,b,c$ ? (Sachant que la définition de $m$ est : " la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités")

Comme j'ai dit plus haut, on pourra vérifier sur le cas particulier de $861$ pour être sûr de la formule.

Oui c'est exactement ça l'idée !

Attention par contre à la logique et à bien mettre toutes les justifications.
Il ne faut pas écrire :

en plein milieu du raisonnement : c'est quelque chose qu'on aimerait montrer justement.
Ce qui a, à ce stade du raisonnement, été démontré s'exprime de la manière suivante :
"$n\equiv 2a+3b+c \: [7]$ si et seulement si (on peut aussi dire 'est équivalent à') $7|98a+7b$".

Enfin il ne faut pas oublier de bien justifier que :
$$
\begin{array}\\
98 \equiv 0 [7] \Rightarrow 98a \equiv 0 [7] \\
7 \equiv 0 [7] \Rightarrow 7b \equiv 0 [7]\\
\end{array}
$$
Et donc que $98a+7b \equiv 0 [7]$ par linéarité.