Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Une variété linéaire dont la direction est une droite vectorielle s'appelle droite affine (ou simplement droite); une droite vectorielle est donc une droite affine passant par $0$. Tout vecteur $\neq 0$ de la direction d'une droite $\mathrm{D}$ s'appelle vecteur directeur de $\mathrm{D}$; si $b$ est un vecteur directeur de $\mathrm{D}$, tous les autres sont les vecteurs $\lambda b$ avec $\lambda \neq 0$ ; pour tout point $a\in \mathrm{D}$, l'application $\xi \rightarrow a+\xi b$ est une bijection de $\mathbf{R}$ sur $\mathrm{D}$; ces bijections sont appelées les représentations paramétriques de $\mathrm{D}$ ; l'image de $\mathbf{R}$ par la bijection $\xi \rightarrow a+\xi b$ est l'unique droite passant par $a$ et ayant $b$ pour vecteur directeur.

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi un sens, un point nommé origine et une unité que l'on reporte régulièrement à partir de l'origine. À chaque point d'une droite graduée correspond un nombre relatif appelé abscisse. L'origine O d'une droite graduée a pour abscisse zéro

Définition:
On appelle droite graduée, un couple $(\Delta, g)$ où $\Delta$ est un ensemble et $g$ une bijection de $\Delta$ sur $\mathbf{R}$.

Théorème:
Étant donné une droite graduée $(\Delta, g)$.
Pour tout couple de réels $(a',b')$ tel que $a'\neq 0$, l'application $g'$ de $\Delta$ sur $\mathbf{R}$ définie pour tout élément $M$ de $\Delta$ par $$g'(M)=a'\times g(M) + b'$$ est bijective.

Théorème:
Étant donné une droite graduée $(\Delta, g)$, la famille de toutes les bijections définies précédemment possède la propriété suivante:
Pour deux bijections quelconques $g'$ et $g''$ de cette famille, il existe un couple $(a,b)$ de nombres réels, tel que $a\neq 0$, et pour tout élément de $M$ de $\Delta$ $$g''(M)=a\times g'(M)+b.$$
On appelle alors graduation de $\Delta$, toute bijection de cette famille, et le nombre $g'(M)$ est appelé abscisse de $M$ dans la graduation $g'$.

Définition:
On appelle droite réelle l'ensemble $\Delta$ d'une droite graduée $(\Delta, g)$ muni de la famille des graduations associée à $g$.