Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Super merci, je regarderai de près votre transformation, en douceur, n'étant pas, loin s'en faut, un connaisseur des homographies.
Je pressentais quand-même qu'une action harmonieuse (géométriquement) était dans les coulisses.
Bonne journée

A.

Bonjour,

http://www.debart.fr/ts/inversion_cercl … tml#cercle

La rubrique 5 ce ce document sur l'inversion géométrique ( basculer simplement le schéma de +$\pi/2$  conduit à des figures de cercles similaires.
Un phénomène d'inversion(s) est donc caché derrière l'ensemble-quotient ( sans creuser davantage ...)

A.

Bonsoir Bridgslam,

en fait ma seule erreur a été de dire que le cercle passe par l'origine, c'est vrai après avoir posé $X=X'+a$ et $Y=Y-b$

mais pas dans le repère initial

Il est centré sur l'axe des ordonnées de centre $\Omega'(0,\dfrac{b^2+a^2+1}{2b})$ , passe par $M(a+ib)$.

Son rayon $R= \Omega M$

son point d'ordonnée minimale a pour ordonnée $y_{min}=O \Omega-\Omega M=...=\dfrac{a^2+b^2+1}{2b}-\dfrac{\sqrt{(a^2+b^2+1)^2-4b^2}}{2b} > 0$

ne peut-être nulle, car $b > 0$ (jamais nul).

Merci pour vos réponses et votre solution

reste à réfléchir à une solution géométrique, ce n'est pas gagné !

Raymond

Bonsoir,

En effet le inf ( u, 1/u ) est toujours non nul... Je regarderai aussi mes vieux souvenirs d'inversion et d'homographie pour voir s'il n'y a pas une raison géométrique majeure à tout ceci.
Par-contre algébriquement je ne vois pas plus simple.

Bonne soirée
A.

Bonjour,

Ma démarche ( le seul aspect géométrique, c'est la définition du cercle par angle droit, souvent utile, ici cela allège énormément les calculs, contrairement à la définition par centre -rayon ) :

https://www.cjoint.com/c/LBmjTxl0Dbn

L'idée c'est que les équivalents des imaginaires purs étant situés dans des cercles particuliers ( disjoints ) de P, il suffit de montrer ensuite que tout complexe de P possède un équivalent imaginaire pur... les classes de représentants imaginaires purs satureront forcément leur contenant ( cercles ), qui s'étaleront aussi sur tout P, il s'agit donc de l'ensemble quotient P/R: démarche quelque peu inhabituelle, mais qui simplifie le reste.

un schéma rapide récapitulatif...

https://www.cjoint.com/c/LBmjWF60P7n

Les calculs intermédiaires sont assez rapides ( emploi du conjugué notamment ), par symétrie des rôles de l'angle au numérateur - dénominateur.

Hélas cela reste du calcul, si on s'en tient à des recherches d'inversions et images de droites-cercles à $\theta$ variables, les classes-cercles devraient représenter des sortes d'enveloppes, pas trouvé présentement pour "décoincer" la solution géométrique pure...
Après, homographies et inversions étant normalement acoquinées avec la géométrie projective, il y a sans doute une piste dans cela.

Le rôle de $\theta$, géométriquement, est particulièrement mystérieux.

A.

Bonjour,
votre problème m'a rappelé de très vieux souvenirs(inversion en classe de terminale)...

J'ai tenté une solution géométrique mais impasse, la solution calculatoire a par contre abouti , j'espère ne pas avoir fait d'erreur,
j'ai shunté les calculs intermédiaires, sinon trop touffu

\begin{document}
%-------------------DEBUT-----------------------------------
$z'=\dfrac{z \cos \theta + \sin \theta}{-z \sin \theta+\cos \theta}=- \cot \theta-\dfrac{1+\cot^2\theta}{z-\cot\theta}$.

\vspace{0.5cm}
$z$ est fixé dans $\left\{z \in \mathbb{C}, Im(z) > 0\right\}$ et $\theta \in \mathbb{R}$

On a le diagramme sagittal suivant :

$z \mapsto u=z-\cot\theta \mapsto v=\overline{u} \mapsto w=\dfrac{1}{\overline{v}} \mapsto t=-(1+\cot^2\theta) w \mapsto z'=-\cot\theta+t$

Quand $\theta$ varie dans $\mathbb{R}$, $M(u)$ décrit la droite passant par $M$ parallèle à l'axe des abscisses.

$M(v=\overline{u})$ décrit la droite symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

$M(w)$ décrit l'image de cette dernière droite par l'inversion de pôle $O$ et de rapport 1, comme la droite ne passe pas par le pôle puisque au départ $Im(z) > 0$, alors $M(w)$ décrit un cercle passant par le pôle et dont la tangente en $O$ est parallèle à la droite de départ donc à l'axe des abscisses. Son centre est donc sur l'axe des ordonnées.

$M(t)$ image de $M(w)$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-(1+\cot^2\theta)$

Malheureusement le rapport d'homothétie varie avec $\theta$ et là je ne vois pas l'astuce qui pourrait m'en sortir.

Je reprends donc la solution par le calcul.
En posant $t=\cot\theta$ la classe de $M(z=a+ib)$ est la courbe paramétrée d'équation $z'=-t+\dfrac{1+t^2}{-(a+ib)+t}$ avec $t$ qui décrit $]0,\pi[$ vue la période de $\cot$.

On calcule $X'$ et $Y'$ en fonction de $t$ et on élimine $t$ entre $X'$ et $Y'$.

On trouve :

$X'=-t+\dfrac{(1+t^2)(t-a)}{(t-a)^2+b^2}$

$Y'=\dfrac{(1+t^2)b}{(t-a)^2+b^2}$

de là on déduit :

$X'=-t+\dfrac{(t-a)Y'}{b}$ d'où $t=\dfrac{bX'+aY'}{Y'-b}$

$Y'=\dfrac{(Y'-b)^2+(bX'+aY')^2}{b[(X'+a)^2+(Y'-b)^2]}=\dfrac{(Y'-b)^2+(b(X'+a)+a(Y'-b))^2}{b[(X'+a)^2+(Y'-b)^2]}=$

On est donc amené à poser $X=X'+a$ et $Y=Y'-b$ ou à mettre l'origine du repère en $O'(-\overline{z}=-a+ib)$

On obtient l'équation implicite de la classe de $M(z=a+ib)$ :

$b(b+Y)(X^2+Y^2)=Y^2+(bX+aY)^2$

ce qui équivaut à :

$Y=0$ mais alors ...$z'=-\overline{z}$

ou

$bX^2+bY^2+Y(b^2-a^2-1)-2abX=0$

On reconnait l'équation d'un cercle

On vérifie qu'il passe bien par $M(2a,0)$

et en mettant sous forme canonique :

$(X-a)^2+(Y+\dfrac{b^2-a^2-1}{2b})^2-a^2-\left(\dfrac{b^2-a^2-1}{2b}^2\right)=0$

et revenant au repère initial :

C'est le cercle de centre $\Omega'(0,\dfrac{b^2+a^2+1}{2b})$

On vérifie que le point d'affixe $-\overline{z}$ est bien sur le cercle

En Conclusion : la classe de $M(a+ib)$ est le cercle de centre $\Omega'(0,\dfrac{b^2+a^2+1}{2b})$ passant par M.

Il est centré sur l'axe des ordonnées , passe par $M(a+ib)$ et passe par l'origine c'est donc facile de le tracer à la règle et au compas.

J'ai vérifié avec Xcas(courbe implicite) et M(3,2) et c'est bon.

Ci-dessous aussi un fichier teXgraph (.teg) pour le tracé direct de z'. Mais a été refusé (spam) j'ai dû le supprimer, c'est la première fois que je viens sur le site, donc j'ai des progrès à faire.
\end{document}

Bonjour,

Un indice supplémentaire si cette recherche géométrico-algébrique vous a titillé (voire plu tout simplement):

Sur un plan géométrique le paramètre $\theta$ joue un rôle vraiment caché ( supériorité de l'algèbre sur la géométrie ?) et donc la fameuse intuition géométrique peut fourvoyer complètement.

Au bout du compte on sera content ( joies simples ): étant donnés deux points de P dire aussitôt s' ils engendrent la même figure, ou non... quand ils passent à la moulinette de ces homographies particulières ( de déterminant 1 ).

Dans un deuxième temps (après sa résolution, par les moyens du bord ou moyennant des outils plus évolués que je cherche encore pour ma part), on peut encore se poser 3 questions annexes, cette fois 100% géométriques, et que j'ai nommé, faute de mieux:

- champ magnétique ?
- le tube incliné  ( en passant en 3 D)
- l'éloignement factice

Le deuxième point m'évoque le fait que le pb est peut-être facilement solutionnable directement plongé en 3 dimensions ( avec une approche adéquate évidemment, en oubliant les tentatives avec l'équivalent des complexes en dimension 3 , car  il faudrait 4 dimensions - hamiltonien ?, donc purement géométrique ) ,et on reprojette ensuite dans le plan pour revenir à nos moutons.

Pour le troisième point, des points très éloignés ( pour la distance ordinaire ) se touchent pratiquement au sens de leurs classes et je me suis demandé si on ne pouvait pas définir une autre distance utile basée sur ces classes.

Bref un champ d'investigation bien ouvert et passionnant.

A.

Bonjour !

Je ne crois pas que je vais pouvoir te suivre sur ce chemin ... c'est trop loin pour moi !

Par contre je vais essayer d'autres trajectoires pour le point M, et voir ce que fait M' ...

J'avais bien vu que je sortais du 1/2 plan sup.

Je suis inréressé par les aspects géométriques ... quand j'étais en maths-sup, j'avais toujours une interprétation géométrique pour les exercices de nombres complexes !

Bonne journée, B-m