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bridgslam · 16-05-2021 10:38:12

Si on préfère les voisinages, il faut montrer que pour tout x de X, W (x) ensemble des voisinages de x pour la distance d est identique à V(x) ensemble des voisinages de x pour la topologie discrète.
Or si w est dans W(x) , w contient {x,} et tout {x} étant un ouvert pour la topologie discrète, w est dans V(x).
Si v est dans V(x) , il contient {x} donc la boule ouverte B = {x} , donc un ouvert de la topologie associée à d. v est donc dans W(x).

Ainsi, V(x) = W(x) . Ceci étant vrai pour tout x, les topologies sont identiques, les définitions par les voisinages étant caractéristiques des topologies.

bridgslam · 16-05-2021 09:59:43

Ainsi [tex]\forall x \in X \; B = \{x \} [/tex] est un ouvert ( car boule ouverte ) , pour la topologie déduite de la distance d discrète.
Cette topologie contenant donc tous ses singletons (en plus de [tex]\emptyset[/tex] ) , elle contient par réunions toutes les parties de X, donc est la topologie discrète.

moise0738 · 15-05-2021 19:58:46

merci

bridgslam · 15-05-2021 11:07:33

Bonjour,

Simplement prendre les définitions.
Comment la topologie ( les ouverts , mais on peut raisonner aussi avec les voisinages ) associée à une distance est-elle définie ?

Soit X un ensemble. Sa topologie discrète est celle pour laquelle les ouverts sont toutes les parties de X ( en particuliers tous les singletons , ce qui suffit d'ailleurs).

Si d est la distance discrète la distance entre deux points est 1 s'ils sont distincts, 0 sinon.
En particulier que peux-tu dire , si x est dans X , de la partie [tex]B = \{ y \in X, d ( x , y ) < 1 \}[/tex] ?

Cela devrait t'aider à prouver ce que tu souhaites.

Alain

moise0738 · 14-05-2021 22:16:24

Bonjour...
J'aimerais monter que la topologie associé à la distance discrète est discrète mais je sais pas par quoi commencer...
Merci

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