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bridgslam
20-02-2021 20:21:29

Bonjour,

C'est pas mal pour faire un peu de latex par la même occasion ( pas mon fort ).

On ne peut pas représenter C par un produit cartésien (sauf cas particuliers, E vide ou réduit à un singleton )  car si ( X, f)
est dans ce produit cartésien, avec Y différent de X , ( Y , f ) ne pourrait pas appartenir à ce produit cartésien car f ne va pas de Y dans F, mais de X dans F. Contradictoire pour un produit cartésien...
C'est l'analogue dans le plan euclidien d'un cercle unité, le point (1,1) n'est pas dans le cercle...

Par-contre en notant [tex]H = \cup_{X\subset E} \;  F^X[/tex] , C est bien une partie de P(E) x H .

On a plus précisément [tex]C = \cup_{X\subset E} \left\{X\right\} \textrm{ x }  F^X [/tex] .

Vérifions tout-de-même: si X est une partie de E et f une application de X dans F le couple ( X , f ) est bien dans
[tex]\left\{X\right\} \textrm{ x }  F^X[/tex] et nôtre expression de C les prend tous par la réunion sur les parties de E.

Par-contre je ne vois pas d'expression plus simple de C.

Alain

bridgslam
20-02-2021 18:10:31

Bonjour,

Je me suis posé la question de "visualisation" suivante:

Etant donnés des ensembles E et F fixés, si on s'intéresse aux couples ( X, f ) où X est une partie de E et f une application de X dans F,
peut-on exprimer cet ensemble C de couples comme un produit cartésien ?
Dans la négative, exprimer cet ensemble C comme une partie d'un produit cartésien.
Donner aussi une expression ensembliste claire de C ( au moyen des opérations classique: x, réunion etc  ), la plus simple possible.

Ce genre d'exercice peut être utile pour étayer ( voire infirmer ) sa bonne représentation mentale des objets mathématiques.

Cordialement,
Alain

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