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Bonjour,

L'entier (5⁵) n'admet pas d'autre diviseur premier que (5); chercher à l'exprimer par une somme (ou une différence) constitue une complication inutile:

(a-1)(a)(a+1)(a²+1)+a = (a² - 1)(a² + 1)a + a = (a⁴ - 1)a +a = a⁵ - a + a = a⁵ .

L'expression proposée résulte de la factorisation de (a⁴ - 1) .

On pourrait envisager une expression plus générale de F(a) = a^{2^n + 1}:

F(a) = a^{2^n + 1} - a + a = a(a^{2^n} - 1) + a = a + a(a^{2^(n-1)} + 1)(a^{2^(n-1)} - 1) = ... etc

qui fait intervenir lun produit de (n + 1) termes:

G(a) = (a - 1)Π_k=0^n-1(a^{2^k} + 1) = a^{2^n} - 1 .

Que le chiffre des unités soit un (5) est une propriété liée à l'écriture décimale du nombre; s'intéresser à cette propriété oriente les calculs dans une direction différente:

N = 10*q + u avec q = (N DIV 10) et u = (N MOD 10).