Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je ne vois vraiment pas la raison du choix de cette valeur: Exp(π) = 23.140 692 ...
N'y aurait-il pas un malentendu ?

Cela devrait donner:

A/Sin(a) = B/Sin(b) = C/Sin(c) = P/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ,

d'où:

A = P.Sin(a)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
B = P.Sin(b)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
C = P.Sin(a + b)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
S = P²Sin(a)Sin(b).Sin(c)/2(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b))² .

L'équation S = LP devient:

P.Sin(a)Sin(b)Sin(a + b) = 2L.(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b))² ,

ou plus simplement:

C.Sin(a)Sin(b) = 2L.(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) .

Calculs à vérifier.

# On peut aussi proposer une autre forme d'énoncé: S = K.P²
dans laquelle (K) représente un facteur sans dimension, et ne peut dépasser un certain seuil qu'il serait intéressant de déterminer.

Salut,

Pour moi, une énigme c'est un sujet, une question dont on connaît la réponse, et qu'on pose la cantonade pour voir si quelqu'un trouve ladite réponse. En gros, une devinette un plus élaborée, quoi.
Concernant ta première question, je l''avais interprétée comme ceci
Etant donné deux triangles semblables, peut-on trouver le même périmètre dans les deux cas ? la même aire dans les deux ?
@omhaf
Tes deux exemples m'ont donné à réfléchir
6, 8 10 dérive de 3,4,5.
(3,4,5) et (5,12,13) sont les premiers triplets Pythagoriciens.
n étant un premier impair (si seulement impair alors, c'est un multiple)
Les triplets Pythagoriciens sont donnés par $\left(n, \frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2}\right)$
Le Périmètre P d'un tel triangle est $P= n+\frac{n^2-1}{2}+\frac{n^2+1}{2}=n(n+1)$
Son aire $\mathcal A$ est $\mathcal A=\dfrac{n\times \frac{n^2-1}{2}}{2}=\frac{n(n^2-1)}{4}$

Existe-t-il k entier non nul  tel que le triplet $\left(kn,\frac{k(n^2-1)}{2},\frac{k(n^2+1)}{2}\right)$ soit tel que $\mathcal A=P$ ?

$\mathcal A= \frac{k^2n(n^2-1)}{4}$ et $P=kn(n+1)$
$\frac{k^2n(n^2-1)}{4}=kn(n+1)$
$\Leftrightarrow$
$kn(n^2-1)=4n(n+1)$
$\Leftrightarrow$
$kn(n+1)(n-1)-4n(n+1)=0$
$\Leftrightarrow$
$n(n+1)[k(n-1)-4]=0$
$\Leftrightarrow$
$n(n+1)((kn-k-4)=0$
Les solutions n=0 et n-1 sont à rejeter, reste $k(n-1)=4$ soit $k=\frac{4}{n-1}$
Si n=3, on a k=2 et on retrouve (6,8,10), (3,4,5) ne marchant pas. Pas d'autre multiple entier, ni rationnel.
Si n=5  et on retrouve (5,12,13), pas de multiple entier, ni rationnel
Si n=7, on a k = 2/3 pas entier.
Si n=11, on a k = 2/5 pas entier.
Si n= 13, on a k = 1/3 pas entier.
Si n= 17, on a k = 1/4 pas entier.
il n'y a plus de solutions entières...

@+

Regardes bien yoshi
En fait c'est pas un énigme c'est une formule comme la formule de Heron. En plus elle parle de l'unicité du triangle
Je te propose de donner cette formule à d'autre personnes car je la trouve très utile pour résoudre des problèmes comme ce que j' ais proposé
Merci

Vous avez raison Yoshi pour votre question (hors problèmes d'unités différentes, existent-il des triangles dont le périmètre et l'aire s'expriment au moyen du même nombre ?)
En fait lorsqu'on fait plusieurs homothéties sur un triangle on va avoir une infinité de triangle dont les angles sont les même bien sure .
parmi ces triangle on va avoir un seul triangle caractérisé par l'équation S=P
Pour ce là je vais vous donner cette formule S=P=(2(sin a + sin b + sin c)^2)/(sin a * sin b * sin c).

Et avec cette formule on peut répondre à un autre problème: calculer la surface et le périmètre du triangle caractérisé par les angles a=55   b=45  c=80   et  par l'équation S=exp(pi)*P

Salut, et Joyeux Noël à tous !

Pour le problème $S=P$, il y a un problème de dimension. Une longueur et une surface n'ont pas la même unité.
Du coup, avant de chercher à résoudre le problème, il faudrait chercher à lui donner un sens.

Bonjour,

1ere question.
Réponse.
Non, un bon dessin valant mieux qu'un long discours,voilà :

Les 3 angles sont les mêmes et les triangles pourtant différents...

Deuxième question.
J'ai commencé avec la formule de Héron d'Alexandrie.
a, b, c étant les longueurs des 3 côtés, p le demi-périmètre, S la surface, on a
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Mais les calculs me paraissent bien longs...

@+