Forum de mathématiques - Bibm@th.net

A vrai dire, dans le lien que tu as donné, je ne vois pas vraiment d' "énoncé".
Ce qui est sûr c'est qu'avec la méthode que je t'ai proposé, pour être rigoureux, il faut au moins supposer $y$ de classe $C^2$ et qui ne s'annule pas...

Si $y'$ est monotone...par exemple si on cherche les solutions telles que y'' ne s'annule pas.

Hello,

  Moi, je n'y ai jamais rien compris avec ces notations à la physicienne pour résoudre une équa diff. Je vais te dire comment je le comprends "version maths". Tu poses encore $x=u(t)$. En supposant que $u$ est une bijection, ceci est encore équivalent à $t=u^{-1}(x)$. Je vais noter, pour simplifier, $v=u^{-1}$.
La formule de la dérivée d'une fonction composée te donne $v'(x)=\frac{1}{u'(v(x))}$ c'est-à-dire encore que $u'(t)=\frac{1}{v(x)}$ (toujours si on a la relation $x=u(t)\iff v(x)=t$). Ton équation différentielle devient alors
$$x=f(x)+\frac{v(x)}{v'(x)}f'(x)+\frac1{v'(x)}g'(x)\iff v'(x)\left(f(x)-x\right)+v(x)f'(x)=-g'(x).$$

A ce moment là, tu as une équation différentielle linéaire du premier ordre en $v$, que tu peux espérer résoudre....

F.