Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » Inclusion et normes
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Vincent62
- 28-05-2022 07:10:45
Merci Eust_4che, je n'y avais pas pensé.
Bonne journée.
- Eust_4che
- 27-05-2022 16:24:26
Bonjour,
Faut-il qu'on donne un avis sur la démonstration ou sur la façon de faire ? La démonstration est bonne, pour moi. Mais pour une démonstration plus élémentaire, ne faisant pas intervenir l'inégalité des accroissements finis, on pouvait simplement montrer que le norme $\| . \|_{\infty}'$ est plus fine que la norme $\| . \|_{\infty}$, ce qu'on démontre en intégrant la dérivée. C'est en tout cas ce que j'aurais fait.
E.
- Vincent62
- 27-05-2022 13:07:47
Bonjour,
Je note [tex]X=C^1([0,1],\mathbb{R})[/tex] et [tex]E=\{f\in X, f(0)=0\}[/tex] le sous-espace vectoriel de X.
Je définis également [tex]\|f\|_{\infty}:=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|[/tex] et [tex]\|f\|'_{\infty}:=\sup_{t\in [0,1]}|f'(t)|[/tex].
J'ai démontré que [tex](X,\|.\|)[/tex] et [tex](E,\|.\|')[/tex] étaient deux espaces vectoriels normés.
Je souhaite désormais montrer que [tex]\forall f\in E, \forall r>0, B_{\|.\|'_{\infty}}(f,r)\subset B_{\|.\|_{\infty}}(f,r)[/tex].
Voilà où j'en suis... Soit [tex]g\in E[/tex]. Alors [tex]\|f-g\|'_{\infty}<r[/tex].
J'ai alors défini [tex]h:=f-g[/tex]. On a alors que [tex]\sup_{t\in [0,1]}|h'(t)|<r[/tex] et donc que [tex]\forall t\in [0,1], |h'(t)|<r[/tex].
Puis, d'après le l'inégalité des accroissements finis, on a que [tex]\forall x,y\in [0,1], |h(x)-h(y)|<r|x-y|<r[/tex].
En particulier, pour [tex]y=0[/tex], il vient que [tex]h(0)=f(0)-g(0)=0[/tex] car [tex]f,g\in E[/tex] et donc que [tex]\forall x\in [0,1], |h(x)|<r[/tex].
En particulier, [tex]\sup_{x\in [0,1]} |h(x)|=sup_{x\in [0,1]} |f(x)-g(x)|=\|f-g\|_{\infty}<r[/tex] et donc [tex]g\in B_{\|.\|_{\infty}}(f,r)[/tex].
Qu'en pensez-vous ?