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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 17-05-2022 09:32:25
1°) Non, sûrement pas. Pas dans n'importe quelle base.
2°) Comment définis-tu une base orthonormée si tu n'es pas dans un espace euclidien ?
- Werner Franck
- 16-05-2022 22:42:50
Si la représentation matricielle de f dans une base orthonormée de E est symétrique, n'importe qu'elle autre représentation dans n'importe quelle base l'est aussi non ?
- Werner Franck
- 16-05-2022 22:41:41
Un endomorphisme f sur E est antisymétrique (resp. symétrique) si sa représentation matricielle est une matrice antisymétrique (resp. symétrique). Mais en effet, il risque d'y avoir un problème parce que pour que ça ait du sens, il faudrait que qq soit la base B choisie, matB(f) soit antisymétrique (resp. symétrique). Ce qui n'est pas le cas donc oui je me suis trompé parce que ducoup ça n'a du sens que pour la représentation matricielle dans une base orthonormée donc dans un espace euclidien.
- Michel Coste
- 16-05-2022 21:41:36
????
Quel sens est-ce que ça a selon toi si tu n'as pas de produit scalaire ?
- Werner Franck
- 16-05-2022 21:13:14
Oui oui bien sûr je suis d'accord mais ce que je voulais dire était que la caractérisation "être un antisymétrique" ne vaut pas que pour des endomorphismes définis sur des espaces euclidiens.
- Michel Coste
- 15-05-2022 21:53:18
Si, ça ne vaut que pour les espaces euclidiens !
Tu peux dire qu'une matrice est (anti)symétrique sans te préoccuper de produit scalaire. Mais pour un endomorphisme, ces notions ne font pas de sens sans produit scalaire (sans produit scalaire, comment définirais-tu une base orthonormée ?).
- Werner Franck
- 15-05-2022 20:12:51
Ah non au temps pour moi, j'avais lu (f(x)|y)=(x|f(y)) au lieu de (f(x)|y)="−"(x|f(y)). Cela dit, j'imagine que ça revient exactement à dire que
matB(f)=-transposée(matB(f)). Tout s'explique finalement. La caractérisation précédente était donc celle d'un endomorphisme symétrique et ne vaut pas que pour les espaces euclidiens si je dis pas de bêtises.
- Werner Franck
- 15-05-2022 20:00:13
Bonjour, merci pour votre aide, j'ai finalement trouvé. D'ailleurs, la caractérisation d'endomorphisme antisymétrique f vaut donc seulement sur un espace euclidien et ne serait-elle pas équivalente au fait que pour toute base B orthonormée de E, matB(f) = transposée(matB(f)) ?
C'était le sujet de l'exercice que je traitais.
- Michel Coste
- 15-05-2022 17:47:21
En dimension finie, en particulier pour les espaces euclidiens
Je n'écrirais pas cela : les espaces euclidiens ne sont pas des espace de dimension finie particuliers. D'ailleurs la dimension finie ne figure pas dans la définition d'endomorphisme (anti)symétrique, qui vaut sur un espace de Hilbert.
- Eust_4che
- 15-05-2022 14:32:23
Bonjour à tous,
Franck fait référence aux formes bilinéaires qui peuvent être symmétriques ou antisymétriques.
En dimension finie, en particulier pour les espaces euclidiens, on peut dire qu'un endomorphisme est symétrique (resp. antisymétrique) si l'application $(x, y) \longmapsto (f(x), y) = [x, y]$ (qui est bilinéaire) est symétrique (resp. antisymétrique) ; ou bien qu'il est symétrique (resp. antisymétrique) si son ajdoint $f^*$ vérifie $f = f^*$ (resp. $f = - f^*$). Les deux définitions sont équivalentes.
- Michel Coste
- 15-05-2022 13:38:22
Bonjour, cela ne se borne-t-il pas aux formes multilinéaires comme caractérisation ?
Que veux-tu dire ?
- Roro
- 15-05-2022 13:17:50
Bonjour,
Dans le cadre ici (espace pré-hilbertien), un endomorphisme est dit antisymétrique si pour tout $x$, $y$ on a $(f(x)|y) = -(x|f(y))$.
Il est facile de voir que ton hypothèse (à savoir $(f(x)|x)=0$ pour tout $x$) est équivalente à dire que $f$ est antisymétrique...
Roro.
p.s. comme je n'aime pas utiliser le mot "facile", je donne une indication si tu bloques pour le prouver : utiliser $x+y$ dans ton hypothèse.
- Werner Franck
- 15-05-2022 11:49:33
Bonjour, cela ne se borne-t-il pas aux formes multilinéaires comme caractérisation ?
- Michel Coste
- 15-05-2022 10:06:37
Bonjour,
Tu peux par contre démontrer que [tex]f[/tex] est antisymétrique.
- Werner Franck
- 14-05-2022 13:56:57
Ah oui en effet désolé du dérangement j'aurais du trouver par moi-même ce contre exemple. Merci beaucoup.